Utilizando uma das definições de derivada por limite (no formulário), calcule a derivada das funções abaixo:
f(x)=x^{2}-2 x+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=x^{2}-2x+1 usando a definição de derivada por limite. O conteúdo principal é a definição
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
e vamos aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Vamos escrever a definição de derivada:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui a ideia é computar primeiro f(x+h), depois a diferença f(x+h)-f(x).

Passo 3

Calcular f(x+h):
f(x+h)=(x+h)^{2}-2(x+h)+1 =x^{2}+2xh+h^{2}-2x-2h+1.
Em seguida,
f(x+h)-f(x) =(x^{2}+2xh+h^{2}-2x-2h+1)-(x^{2}-2x+1) =2xh+h^{2}-2h.

Passo 4

Montar o quociente de diferenças e simplificar:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{2xh+h^{2}-2h}{h} =2x+h-2.
Agora basta tomar o limite quando h\to0.

Passo 5

Tomando limite:
f'(x)=\lim_{h\to0}(2x+h-2)=2x-2.

Resposta

f'(x)=2x-2

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