Exercício 15. Considere as curvas traçadas pelas seguintes funções vetoriais:
\left\{\begin{array}{l} \vec{r}(t)=\left\langle t, t^{-2}\right\rangle, t<0 \\\ \vec{s}(t)=\left\langle e^{t}, e^{-2 t}\right\rangle, t \in \mathbb{R} \\\ \vec{\ell}(t)=\left\langle\cos t, \operatorname{sec} ^{2} t\right\rangle, 0 \leq t<\frac{\pi}{2} \end{array}\right.
O que elas têm em comum e no que elas diferem?

Passo 1

O enunciado dá três curvas por funções vetoriais e pede para comparar o que elas têm em comum e em que diferem. Os dados fornecidos são (copiados do enunciado):
\vec{r}(t)=\langle t,\, t^{-2}\rangle,\quad t<0
\vec{s}(t)=\langle e^{t},\, e^{-2t}\rangle,\quad t\in\mathbb{R}
\vec{\ell}(t)=\langle\cos t,\, \operatorname{sec}^{2}t\rangle,\quad 0\le t<\tfrac{\pi}{2}
O que é pedido:
  • Identificar o que as três curvas têm em comum.
  • Identificar em que aspectos elas são diferentes (por exemplo: conjunto de pontos percorridos, direção/orientação, regularidade/velocidade, domínio etc.).

Passo 2

Primeiro iremos eliminar o parâmetro em cada caso para ver a relação entre x e y (onde a curva é dada por \vec{c}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle). Isso mostra a curva cartesiana que está sendo traçada.
Para \vec{r}(t): como x(t)=t e y(t)=t^{-2}, podemos escrever t=x. Substituindo,
y=x^{-2}.
Para \vec{s}(t): como x(t)=e^{t}, temos t=\ln x (note que x>0 sempre para x=e^{t}). Substituindo t=\ln x em y(t)=e^{-2t},
y=e^{-2\ln x}=x^{-2}.
Para \vec{\ell}(t): como x(t)=\cos t (no intervalo dado 0\le t<\tfrac{\pi}{2} tem \cos t>0), e y(t)=\operatorname{sec}^{2}t=(\cos t)^{-2}, temos
y=(\cos t)^{-2}=x^{-2}.
Conclusão intermediária: todas as três parametrizações satisfazem a mesma relação cartesiana
y=x^{-2},
desde que se respeitem as restrições em x impostas pelos domínios dos parâmetros.

Passo 3

Agora vamos identificar exatamente quais porções da curva cartesiana y=x^{-2} cada parametrização percorre (imagem da parametrização, isto é, o conjunto de x atingidos):
  • Para \vec{r}(t) temos x=t com t<0. Logo a imagem em x é x<0. Assim \vec{r} percorre o ramo da curva y=x^{-2} para x<0 (o ramo à esquerda do eixo y).
  • Para \vec{s}(t) temos x=e^{t} com t\in\mathbb{R}. Logo a imagem em x é x\in(0,\infty). Assim \vec{s} percorre todo o ramo positivo x>0 da curva.
  • Para \vec{\ell}(t) temos x=\cos t com 0\le t<\tfrac{\pi}{2}. Aqui x\in(0,1]. Logo \vec{\ell} percorre somente a porção do ramo positivo correspondente a 0<x\le 1 (um segmento do ramo à direita, próximo do ponto x=1).
Observação importante: nenhum dos três alcança x=0 porque y=x^{-2} tem singularidade em x=0 (o valor de y explode).

Passo 4

Vamos comparar a orientação (direção do movimento quando t cresce) e a regularidade (se o vetor velocidade é nulo em algum ponto).
Cálculo das derivadas (vetor velocidade) e do sinal de dx/dt:
  • Para \vec{r}(t):
\vec{r}\,'(t)=\langle 1,\, -2t^{-3}\rangle.
Aqui dx/dt=1>0 para todo t<0. Portanto, quando t aumenta, x aumenta: a curva é percorrida no sentido de x mais negativo para x próximo de 0 (da esquerda para a direita). Além disso \vec{r}\,'(t)\neq\vec{0} para todo t<0, ou seja, \vec{r} é regular.
  • Para \vec{s}(t):
\vec{s}\,'(t)=\langle e^{t},\, -2e^{-2t}\rangle.
Aqui dx/dt=e^{t}>0 para todo t, logo x aumenta quando t aumenta: \vec{s} é percorrida no sentido de x pequeno (próximo de 0^{+}) para x\to\infty (da direita para a direita crescente). Também \vec{s}\,'(t)\neq\vec{0} sempre, então \vec{s} é regular.
  • Para \vec{\ell}(t):
\vec{\ell}\,'(t)=\langle -\sin t,\, 2\operatorname{sec}^{2}t\tan t\rangle.
Aqui dx/dt=-\sin t. No intervalo 0<t<\tfrac{\pi}{2} tem \sin t>0, então dx/dt<0: quando t cresce em (0,\tfrac{\pi}{2}), x=\cos t diminui (ou seja, a parametrização percorre do x=1 para x=0^{+}, isto é, sentido oposto ao de \vec{s}). Em t=0 temos \sin 0=0 e \tan 0=0, portanto
\vec{\ell}\,'(0)=\langle 0,\,0\rangle.
Isso mostra que \vec{\ell} não é regular em t=0 (ponto inicial x=1) — é um ponto estacionário da parametrização (a velocidade é zero ali). Para t>0 pequeno, a velocidade torna-se não nula.
Resumo da orientação:
  • \vec{r}: percorre o ramo x<0 com x aumentando quando t aumenta.
  • \vec{s}: percorre x>0 com x aumentando quando t aumenta.
  • \vec{\ell}: percorre 0<x\le 1 com x diminuindo quando t aumenta (orientação oposta a \vec{s} sobre a interseção), e tem velocidade zero em t=0.

Passo 5

Verificação da inclinação (declive) da curva: para qualquer parametrização \vec{c}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle onde dx/dt\neq 0, a inclinação cartesiana é
\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}.
Vamos calcular essa razão em termos de x e verificar que todas dão o mesmo resultado:
  • Para \vec{r}: \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-2t^{-3}}{1}=-2t^{-3}=-2x^{-3}.
  • Para \vec{s}: \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-2e^{-2t}}{e^{t}}=-2e^{-3t}=-2x^{-3}.
  • Para \vec{\ell} (para t com \sin t\neq 0): usa-se as identidades trigonométricas:
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2\operatorname{sec}^{2}t\tan t}{- \sin t} =\dfrac{2\,(1/\cos^{2}t)\,(\sin t/\cos t)}{-\sin t} =-\dfrac{2}{\cos^{3}t}=-2x^{-3}.
Assim, sempre que dx/dt\neq 0, o declive da curva em termos de x é -2x^{-3}, o declive de y=x^{-2}. Isso confirma mais uma vez que todas estão desenhando a mesma curva cartesiana.

Passo 6

Comentários finais e interpretações úteis para prova (como usar isso rapidamente):
  • Técnica rápida para detectar se parametrizações diferentes representam a mesma curva: tente eliminar o parâmetro e obter uma relação entre x e y. Se a relação for a mesma, as imagens (conjuntos de pontos) estão contidas numa mesma curva cartesiana; então verifique domínio e orientação.
  • Para comparar orientações, calcule dx/dt: sinal positivo → x cresce com t; sinal negativo → x decresce com t.
  • Para regularidade, calcule \vec{c}\,'(t). Se \vec{c}\,'(t)=\vec{0} em algum t, então a parametrização pára nesse instante (não é regular ali).
  • Aplicando isso aqui: todas representam partes do mesmo gráfico y=x^{-2}, mas com imagens (ramos/intervalos de x), orientações e regularidades diferentes.

Resposta

Comum: todas as três parametrizações têm a mesma equação cartesiana \;y=x^{-2}\; (cada ponto da imagem satisfaz y=x^{-2}).
Diferem:
  • imagem/domínio em x: \vec{r} percorre o ramo x<0; \vec{s} percorre todo o ramo x>0; \vec{\ell} percorre apenas 0<x\le 1;
  • orientação: \vec{r} e \vec{s} têm dx/dt>0 (movem-se no sentido de x crescente), enquanto \vec{\ell} tem dx/dt<0 para t\in(0,\tfrac{\pi}{2}) (move-se no sentido contrário, de x=1 para x\to0^{+});
  • regularidade: \vec{r} e \vec{s} são regulares ( \vec{r}\,'\neq\vec{0}, \vec{s}\,'\neq\vec{0} para todos os t em seus domínios), enquanto \vec{\ell} não é regular em t=0 porque \vec{\ell}\,'(0)=\langle 0,0\rangle (ponto estacionário).

Exercícios relacionados