Exercício 14. Esboce as curvas traçadas pelas seguintes funções vetoriais - indicando o sentido de percurso - e determine suas equações cartesianas:
\vec{r}(t)=\sqrt{t-2} \hat{\imath}+\sqrt{t+2} \hat{\jmath}

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
\vec{r}(t)=\sqrt{t-2}\,\hat{\imath}+\sqrt{t+2}\,\hat{\jmath},
e pede duas coisas: (1) esboçar a curva no plano indicando o sentido de percurso; (2) determinar a(s) equação(ões) cartesiana(s) correspondente(s).
Informações fornecidas que vamos usar:
  • As componentes são x(t)=\sqrt{t-2} e y(t)=\sqrt{t+2}.
  • As raízes quadradas exigem argumentos não negativos, o que impõe restrições no domínio de t.
  • Precisamos também indicar o sentido do percurso quando t aumenta.

Passo 2

Determinar o domínio de t por causa das raízes. Cada raiz exige:
t-2\ge 0\quad\Rightarrow\quad t\ge 2,
t+2\ge 0\quad\Rightarrow\quad t\ge -2.
Ambas devem valer, portanto o domínio comum é
t\in[2,\infty).
Isso significa que o movimento paramétrico começa em t=2 e segue para t\to\infty.

Passo 3

Escrever as componentes explicitamente e isolar t para eliminar o parâmetro. As componentes são
x(t)=\sqrt{t-2},\qquad y(t)=\sqrt{t+2}.
Da primeira equação isolamos t:
x=\sqrt{t-2}\quad\Rightarrow\quad x^2=t-2\quad\Rightarrow\quad t=x^2+2.
Substituindo esse t na expressão de y,
y=\sqrt{t+2}=\sqrt{(x^2+2)+2}=\sqrt{x^2+4}.
Essa é a forma cartesiana explícita. Em forma implicita podemos elevar ao quadrado:
y^2=x^2+4\quad\Rightarrow\quad y^2-x^2=4.

Passo 4

Interpretar a equação cartesiana e as restrições impostas pelo parâmetro. A equação
y^2-x^2=4
é a equação de uma hipérbole retangular (com assíntotas y=\pm x). Porém o parâmetro impõe restrições adicionais: como x=\sqrt{t-2}, temos x\ge 0; como y=\sqrt{t+2}, temos y\ge 0. Além disso, no ponto inicial t=2 obtemos
x(2)=\sqrt{0}=0,\qquad y(2)=\sqrt{4}=2,
ou seja, o percurso começa no ponto (0,2). Usando y=\sqrt{x^2+4}, nota-se também que y\ge 2 (valor mínimo em x=0).

Passo 5

Determinar o sentido de percurso (direção quando t aumenta). Calculamos as derivadas em relação a t:
\frac{dx}{dt}=\frac{1}{2\sqrt{t-2}},\qquad \frac{dy}{dt}=\frac{1}{2\sqrt{t+2}}.
Para todo t>2 ambas derivadas são positivas, e em t=2 as derivadas tendem a +\infty (comportamento vertical inicial em x). Portanto, à medida que t aumenta a curva se afasta do ponto (0,2) indo para valores maiores de x e maiores de y: o sentido é “para a direita e para cima” ao longo da rama superior da hipérbole. Para t\to\infty temos y\sim x e a curva aproxima-se da assíntota y=x.

Resposta

y=\sqrt{x^2+4}, equival. y^2-x^2=4 (hipérbole).
Domínio paramétrico: t\in[2,\infty), x\ge0, y\ge2.
Sentido de percurso: começa em (0,2) quando t=2 e, ao aumentar t, a curva vai para a direita e para cima ao longo da rama superior da hipérbole, aproximando-se da assíntota y=x quando t\to\infty.

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