Exercício 14. Esboce as curvas traçadas pelas seguintes funções vetoriais - indicando o sentido de percurso - e determine suas equações cartesianas:
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
e pede duas coisas: (1) esboçar a curva no plano indicando o sentido de percurso; (2) determinar a(s) equação(ões) cartesiana(s) correspondente(s).
Informações fornecidas que vamos usar:
Informações fornecidas que vamos usar:
- As componentes são
e . - As raízes quadradas exigem argumentos não negativos, o que impõe restrições no domínio de
. - Precisamos também indicar o sentido do percurso quando
aumenta.
Passo 2
Determinar o domínio de
por causa das raízes. Cada raiz exige:
Ambas devem valer, portanto o domínio comum é
Isso significa que o movimento paramétrico começa em
e segue para
.
Passo 3
Escrever as componentes explicitamente e isolar
para eliminar o parâmetro. As componentes são
Da primeira equação isolamos
:
Substituindo esse
na expressão de
,
Essa é a forma cartesiana explícita. Em forma implicita podemos elevar ao quadrado:
Passo 4
Interpretar a equação cartesiana e as restrições impostas pelo parâmetro. A equação
é a equação de uma hipérbole retangular (com assíntotas
). Porém o parâmetro impõe restrições adicionais: como
, temos
; como
, temos
. Além disso, no ponto inicial
obtemos
ou seja, o percurso começa no ponto
. Usando
, nota-se também que
(valor mínimo em
).
Passo 5
Determinar o sentido de percurso (direção quando
aumenta). Calculamos as derivadas em relação a
:
Para todo
ambas derivadas são positivas, e em
as derivadas tendem a
(comportamento vertical inicial em
). Portanto, à medida que
aumenta a curva se afasta do ponto
indo para valores maiores de
e maiores de
: o sentido é “para a direita e para cima” ao longo da rama superior da hipérbole. Para
temos
e a curva aproxima-se da assíntota
.
Resposta
Domínio paramétrico:
Sentido de percurso: começa em