Exercício 14. Esboce as curvas traçadas pelas seguintes funções vetoriais - indicando o sentido de percurso - e determine suas equações cartesianas:
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial e pede duas coisas:
- Esboçar a curva traçada por
, indicando o sentido de percurso (ou seja, para onde a partícula vai quando cresce). - Determinar a equação cartesiana da curva (eliminar o parâmetro
).
Informações fornecidas que são relevantes:
- A coordenada
da curva é . - A coordenada
da curva é . - O parâmetro
varia em todo o conjunto dos números reais, isto é, .
Passo 2
Primeiro observamos as expressões das componentes (peguei essas expressões do enunciado):
Explico cada uma:
é a função exponencial, sempre positiva para qualquer
, logo
para todo
. A função
é uma reta em
de declive
.
Passo 3
Agora vamos eliminar o parâmetro
. Para isso isolamos
a partir de
. Como a função exponencial é invertível, a inversa é o logaritmo natural, então:
Esta igualdade só faz sentido quando
(porque
está definido apenas para
). Em seguida substituímos essa expressão em
:
Portanto a equação cartesiana da curva é
com domínio
.
Passo 4
Comentário didático sobre por que isso está correto (para você poder repetir na prova): eliminou-se o parâmetro isolando
em
e usando a função inversa
. Sempre que achar uma componente igual a uma função invertível (como
), dá para inverter e substituir nas outras componentes para obter a forma cartesiana.
Passo 5
Análise do comportamento da curva (isto ajuda a esboçar e entender o sentido):
- Como
temos e . Assim a curva se aproxima do eixo vertical vindo de baixo (vertical assíntota em ). - Como
temos e . A curva vai para a direita e para cima sem limite. - Para valores concretos: se
então ; se então ; se então . Esses pontos são úteis para marcar no esboço.
Passo 6
Incluo informações sobre inclinação e curvatura (úteis para um esboço fiel):
- Derivada vetorial:
, . - Declive da curva em termos de
: usando obtemos
Isto mostra que a inclinação é positiva para todo
(a curva sobe), e que a inclinação é grande quando
é pequeno e decresce para zero quando
.
- Segunda derivada (curvatura):
o que significa que a curva é côncava para baixo em todo o domínio.
Passo 7
Como esboçar passo a passo (na prova faça assim, rapidinho):
- Desenhe os eixos
e e marque a linha como assíntota vertical à esquerda do gráfico (a curva nunca cruza ). - Marque os pontos
, e (peguei esses pontos calculando para ). - Ligue suavemente passando por esses pontos com uma curva que sobe, é côncava para baixo e se aproxima de
vindo de baixo à esquerda. - Coloque pequenas setas ao longo da curva indicando o sentido do percurso: à medida que
cresce a partícula vai de perto de (ou seja, muito à esquerda e abaixo) para a direita e para cima, indo para .
Resposta
A curva é o gráfico da função logarítmica deslocada para cima em