Exercício 14. Esboce as curvas traçadas pelas seguintes funções vetoriais - indicando o sentido de percurso - e determine suas equações cartesianas:
\vec{r}(t)=\left\langle e^{t}, t+1\right\rangle

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial e pede duas coisas:
  • Esboçar a curva traçada por \vec{r}(t)=\left\langle e^{t},\,t+1\right\rangle, indicando o sentido de percurso (ou seja, para onde a partícula vai quando t cresce).
  • Determinar a equação cartesiana da curva (eliminar o parâmetro t).
Informações fornecidas que são relevantes:
  • A coordenada x da curva é x(t)=e^{t}.
  • A coordenada y da curva é y(t)=t+1.
  • O parâmetro t varia em todo o conjunto dos números reais, isto é, t\in\mathbb{R}.

Passo 2

Primeiro observamos as expressões das componentes (peguei essas expressões do enunciado):
x(t)=e^{t}, \qquad y(t)=t+1.
Explico cada uma: e^{t} é a função exponencial, sempre positiva para qualquer t, logo x(t)>0 para todo t. A função y(t)=t+1 é uma reta em t de declive 1.

Passo 3

Agora vamos eliminar o parâmetro t. Para isso isolamos t a partir de x(t)=e^{t}. Como a função exponencial é invertível, a inversa é o logaritmo natural, então:
t=\ln(x).
Esta igualdade só faz sentido quando x>0 (porque \ln(x) está definido apenas para x>0). Em seguida substituímos essa expressão em y(t)=t+1:
y=\ln(x)+1.
Portanto a equação cartesiana da curva é y=\ln(x)+1 com domínio x>0.

Passo 4

Comentário didático sobre por que isso está correto (para você poder repetir na prova): eliminou-se o parâmetro isolando t em x=e^{t} e usando a função inversa \ln. Sempre que achar uma componente igual a uma função invertível (como e^{t}), dá para inverter e substituir nas outras componentes para obter a forma cartesiana.

Passo 5

Análise do comportamento da curva (isto ajuda a esboçar e entender o sentido):
  • Como t\to -\infty temos x=e^{t}\to 0^{+} e y=t+1\to -\infty. Assim a curva se aproxima do eixo vertical x=0 vindo de baixo (vertical assíntota em x=0).
  • Como t\to +\infty temos x\to +\infty e y\to +\infty. A curva vai para a direita e para cima sem limite.
  • Para valores concretos: se t=0 então (x,y)=(1,1); se t=1 então (e,2); se t=-1 então (e^{-1},0). Esses pontos são úteis para marcar no esboço.

Passo 6

Incluo informações sobre inclinação e curvatura (úteis para um esboço fiel):
  • Derivada vetorial: x'(t)=e^{t}, y'(t)=1.
  • Declive da curva em termos de x: usando \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt} obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^{t}}=\frac{1}{x}.
Isto mostra que a inclinação é positiva para todo x>0 (a curva sobe), e que a inclinação é grande quando x é pequeno e decresce para zero quando x\to\infty.
  • Segunda derivada (curvatura):
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=-\frac{1}{x^{2}}<0\quad\text{para }x>0,
o que significa que a curva é côncava para baixo em todo o domínio.

Passo 7

Como esboçar passo a passo (na prova faça assim, rapidinho):
  1. Desenhe os eixos x e y e marque a linha x=0 como assíntota vertical à esquerda do gráfico (a curva nunca cruza x=0).
  2. Marque os pontos (e^{-1},0), (1,1) e (e,2) (peguei esses pontos calculando para t=-1,0,1).
  3. Ligue suavemente passando por esses pontos com uma curva que sobe, é côncava para baixo e se aproxima de x=0 vindo de baixo à esquerda.
  4. Coloque pequenas setas ao longo da curva indicando o sentido do percurso: à medida que t cresce a partícula vai de perto de (0^{+},-\infty) (ou seja, muito à esquerda e abaixo) para a direita e para cima, indo para (+\infty,+\infty).

Resposta

y=\ln(x)+1,\quad x>0
A curva é o gráfico da função logarítmica deslocada para cima em 1; tem assíntota vertical em x=0, é crescente e côncava para baixo, e é percorrida no sentido de t crescente (vai de x\to0^{+},y\to-\infty para x\to+\infty,y\to+\infty).

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