(a) Determinar a saída y(t) do sistema LTI com resposta em frequência H(j\omega)=G_3(\omega) quando a entrada é x(t).
(b) Determinar a potência média dos sinais x(t) e y(t).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
x(t) é periódica com período T=2\pi, logo sua série de Fourier tem harmônicas em \omega_n=n (pois \omega_0=\tfrac{2\pi}{T}=1).
O sistema é LTI e portanto age multiplicando as componentes espectrais por H(j\omega).
q(t) é uma combinação linear e deslocada de G_{1}(t); precisaremos do seu transformado Q(j\omega) usando propriedades de deslocamento no tempo e multiplicação por t.
Não há valores numéricos explícitos de G_1(\omega) ou G_3(\omega) fornecidos, então a resposta ficará em termos dessas funções e de suas derivadas quando necessário.
Passo 2
Plano de ataque (sem resolver ainda): como x(t) é a periódica repetição de q(t) com período T=2\pi, podemos obter os coeficientes complexos c_n da série de Fourier de x(t) a partir do transformado contínuo Q(j\omega) de q(t) pela relação padrão
Depois, para um sistema LTI com H(j\omega), os coeficientes da saída são d_n=H(jn)\,c_n. Finalmente
y(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} d_n e^{j n t}.
Para calcular Q(j\omega) vamos usar propriedades do transformado:
Linearidade.
Deslocamento no tempo: se f(t)\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}F(\omega), então f(t-a)\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}e^{-j\omega a}F(\omega). Equivalente: f(t+a)\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}e^{j\omega a}F(\omega).
Multiplicação por t: se f(t)\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}F(\omega), então t f(t)\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} j\frac{d}{d\omega}F(\omega).
Também usaremos a combinação dessas propriedades para funções deslocadas multiplicadas por t. Vou demonstrar a fórmula que usarei em seguida.
Passo 3
Derivação (muito didática) da fórmula que aplica multiplicação por t depois de um deslocamento:
Seja f(t)\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}F(\omega).
Defina r(t)=f(t+a). Então R(\omega)=e^{j\omega a}F(\omega) (deslocamento).
Agora tome s(t)=t\,r(t)=t f(t+a). Aplicando a propriedade de multiplicação por t sobre r(t) temos
y(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} d_n e^{j n t} =\sum_{n=-\infty}^{\infty}50\,G_3(n)\Bigl(\cos\bigl(\tfrac{n}{2}\bigr)G_1(n)-2\sin\bigl(\tfrac{n}{2}\bigr)G_1'(n)\Bigr)e^{j n t}.
Essa é a expressão completa em termos de G_1(\omega), sua derivada G_1'(\omega) e G_3(\omega).
Passo 8
Potência média dos sinais x(t) e y(t).
Para um sinal periódico com coeficientes c_n (convenção usada acima), a potência média (valor médio de |\cdot|^2 sobre um período) é dada por Parseval:
Essas expressões são finais e corretas mesmo que G_1(\cdot) e G_3(\cdot) não estejam numericamente especificadas: expressam a saída e as potências em função das respostas fornecidas.
Resposta
y(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}50\,G_3(n)\Bigl(\cos\bigl(\tfrac{n}{2}\bigr)G_1(n)-2\sin\bigl(\tfrac{n}{2}\bigr)G_1'(n)\Bigr)e^{j n t}