Exercício 14: Considere a transformada da resposta ao impulso de um sistema linear invariante no tempo dada por
a) Determine a saída
do sistema para a entrada
.
b) Determine a potência média dos sinais
e
.
b) Determine a potência média dos sinais
Passo 1
O enunciado dá a função resposta em frequência
e a entrada
As perguntas são:
- (a) Determinar a saída
do sistema LTI descrito por quando a entrada é . - (b) Determinar a potência média dos sinais
e .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Temos a expressão de
como soma de duas versões deslocadas de . - A entrada contém uma constante (DC) e um produto trigonométrico
.
Nada mais é dado explicitamente sobre; portanto vamos primeiro trabalhar de forma geral em termos dos valores de em frequências específicas e, quando útil, indicar a simplificação que ocorre se for real e par (caso físico comum).
Passo 2
Vamos simplificar
usando identidade trigonométrica para transformar o produto em soma de senos. A identidade usada é
Aplicando com
e
obtemos
Portanto,
Comentário didático: escrevemos
como soma de três componentes simples (DC,
,
), que é conveniente para analisar a saída de um sistema LTI, porque cada componente senoidal será afetada apenas pelo ganho/fase de
nas suas frequências.
Passo 3
Agora vamos escrever a transformada de Fourier
desses componentes (lembrando fórmulas padrão):
- A transformada do sinal constante
é . - A transformada de
é .
Usando isso, para
temos
Explicação didática: cada seno gera dois deltas em
com coeficientes que originam a amplitude e a fase do componente; o DC gera um delta em
.
Passo 4
A saída no domínio da frequência é
Como
é uma soma de deltas, multiplicar por
apenas escala cada delta pelo valor de
avaliado na posição daquele delta. Assim, avaliando em cada frequência relevante
:
- Para o delta em
(DC): o coeficiente em é - Para os deltas em
(componente ): o ganho em é e em é Então os coeficientes dos deltas em são os coeficientes originais multiplicados por esses . - Para os deltas em
(componente ): o ganho em é e em é
Didática: multiplicar por
“pesa” cada componente espectral pelo valor de
naquela frequência — se
for zero ali, o componente é totalmente eliminado; se for unitário, o componente passa sem alteração de amplitude.
Passo 5
Agora invertemos
para obter
. Para uma componente
com amplitude
a transformada é
. Após multiplicação por
, a parte no tempo correspondente ficará (usando a propriedade linear e pares de deltas):
Se além
for real e par (isto é,
e real — hipótese comum para filtros que não introduzem deslocamento de fase dependente de sinal), essa expressão simplifica para
Aplicando isso às componentes de
obtemos a expressão geral de
.
Passo intermediário — escrever explicitamente
em forma geral (sem assumir paridade de
): usando os resultados do Passo 4, a componente DC (constante) em
é
Para a componente em
(amplitude original
) a saída é
Para a componente em
(amplitude original
) a saída é
Juntando tudo temos uma forma completa (ainda em termos de
).
Passo 6
Para ficar mais prático e legível — e porque é uma hipótese física comum (filtros com resposta real e par) — vamos apresentar a forma simplificada assumindo que
é real e par, isto é,
Nesse caso:
-
, , , . - Os ganhos ficam:
- A saída resultante (forma real e direta) é então
Usando a paridade de
isso pode ser escrita de modo ainda mais compacto:
Didática: essa expressão mostra claramente que cada componente original foi multiplicada pelo ganho do sistema na respectiva frequência; por exemplo, a componente
é escalada por
, que é o valor de
em
.
Passo 7
Agora calculamos as potências médias. Para um sinal periódico composto por componentes DC e senoidais de amplitude
, a potência média é
onde cada seno com amplitude
contribui com
(a média de
é
).
Primeiro o sinal de entrada
:
- DC é
, contribuição . - Duas senóides com amplitudes
e (o sinal tem mesma amplitude positiva para potência): cada uma contribui com .
Portanto
Segundo o sinal de saída
na forma (supondo
real e par)
onde
(Nota: o sinal de menos em
só muda sinal, não a potência.)
Assim a potência média de
é
Substituindo as expressões:
Podemos simplificar fatores numéricos se desejar:
Observação final (caso particular frequentemente usado em exercícios): se
for um lowpass ideal com ganho unitário em
e largura pequena o suficiente para que somente
e todos os outros valores citados sejam zero, então:
-
(e as outras componentes e DC são nulas), - e as potências seriam
e .
Isso é um caso particular útil para interpretar um sistema que sintoniza apenas a banda em.
Resposta
(a)
(b)