Determine o valor das integrais
\quad \int_{-\infty}^{+\infty} t e^{-|t|} \operatorname{sen}(2 t) d t

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor da integral
\int_{-\infty}^{+\infty} t\,e^{-|t|}\,\operatorname{sen}(2t)\,dt.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função integranda é t\,e^{-|t|}\,\operatorname{sen}(2t).
  • O domínio de integração é toda a reta real, (-\infty,+\infty).
  • A presença de |t| indica que o comportamento da função muda em t=0.
  • A pergunta é apenas um único valor numérico: o valor da integral imprópria.

Passo 2

Primeiro passo prático: verificar a simetria (paridade) da integranda para simplificar a integral. Definimos
f(t)=t\,e^{-|t|}\,\operatorname{sen}(2t).
Calculamos f(-t):
f(-t)=(-t)\,e^{-| -t|}\,\operatorname{sen}(-2t).
Como |-t|=|t| (valor absoluto é função par) e \operatorname{sen}(-2t)=-\operatorname{sen}(2t) (seno é ímpar), obtemos
f(-t)=(-t)\,e^{-|t|}\,(-\operatorname{sen}(2t))=t\,e^{-|t|}\,\operatorname{sen}(2t)=f(t).
Logo f é uma função par. Quando a integranda é par, a integral sobre a reta inteira é o dobro da integral sobre [0,\infty). Portanto
\int_{-\infty}^{+\infty} t\,e^{-|t|}\,\operatorname{sen}(2t)\,dt =2\int_{0}^{\infty} t\,e^{-|t|}\,\operatorname{sen}(2t)\,dt.

Passo 3

Agora usamos que, para t\ge 0, |t|=t. Assim a integral fica
2\int_{0}^{\infty} t\,e^{-t}\,\operatorname{sen}(2t)\,dt.
Precisamos calcular \displaystyle\int_{0}^{\infty} t\,e^{-t}\,\operatorname{sen}(2t)\,dt. Uma técnica prática é usar um resultado padrão de transformada de Laplace. Vamos primeiro obter a fórmula básica
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,\operatorname{sen}(\omega t)\,dt,
para s>0 e \omega>0.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,\operatorname{sen}(\omega t)\,dt (passo-a-passo didático):
  • Note que \operatorname{sen}(\omega t)=\Im(e^{i\omega t}), a parte imaginária de e^{i\omega t}.
  • Então
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,\operatorname{sen}(\omega t)\,dt = \Im\!\left(\int_{0}^{\infty} e^{-s t}e^{i\omega t}\,dt\right) = \Im\!\left(\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i\omega)t}\,dt\right).
  • A integral geométrica \int_{0}^{\infty} e^{-(s-i\omega)t}\,dt converge para s>0 e vale \dfrac{1}{s-i\omega}.
  • Então
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,\operatorname{sen}(\omega t)\,dt = \Im\!\left(\frac{1}{s-i\omega}\right).
  • Escrevendo \dfrac{1}{s-i\omega}=\dfrac{s+i\omega}{s^2+\omega^2}, a parte imaginária é \dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}.
    Portanto
\boxed{\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,\operatorname{sen}(\omega t)\,dt=\frac{\omega}{s^2+\omega^2},\quad s>0.}

Passo 5

Agora queremos a integral com fator t. Observação útil: derivar em s a expressão acima traz um fator -t para dentro da integral, porque
\frac{\partial}{\partial s}\left(e^{-s t}\right)=-t\,e^{-s t}.
Formalmente,
\frac{\partial}{\partial s}\left(\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,\operatorname{sen}(\omega t)\,dt\right) =\int_{0}^{\infty} \frac{\partial}{\partial s}\left(e^{-s t}\right)\operatorname{sen}(\omega t)\,dt =-\int_{0}^{\infty} t\,e^{-s t}\,\operatorname{sen}(\omega t)\,dt.
Portanto
\int_{0}^{\infty} t\,e^{-s t}\,\operatorname{sen}(\omega t)\,dt =-\frac{\partial}{\partial s}\left(\frac{\omega}{s^2+\omega^2}\right).
Calculamos a derivada no lado direito:
\frac{\partial}{\partial s}\left(\frac{\omega}{s^2+\omega^2}\right) =\omega\cdot\frac{\partial}{\partial s}\left((s^2+\omega^2)^{-1}\right) =\omega\cdot\left(-1\right)\cdot 2s\,(s^2+\omega^2)^{-2} =-\frac{2s\omega}{(s^2+\omega^2)^2}.
Com o sinal menos da relação anterior:
\int_{0}^{\infty} t\,e^{-s t}\,\operatorname{sen}(\omega t)\,dt =\frac{2s\omega}{(s^2+\omega^2)^2}.

Passo 6

Aplicamos a fórmula com s=1 e \omega=2 (porque na nossa integral temos e^{-t} e \operatorname{sen}(2t)):
  • Calcule s^2+\omega^2=1^2+2^2=1+4=5.
  • Então (s^2+\omega^2)^2=5^2=25.
  • O numerador é 2s\omega=2\cdot 1\cdot 2=4.
    Logo
\int_{0}^{\infty} t\,e^{-t}\,\operatorname{sen}(2t)\,dt=\frac{4}{25}.
Voltando ao fator 2 do Passo 3:
\int_{-\infty}^{+\infty} t\,e^{-|t|}\,\operatorname{sen}(2t)\,dt =2\cdot \frac{4}{25}=\frac{8}{25}.

Resposta

\displaystyle \frac{8}{25}

Exercícios relacionados