Determine o valor das integrais
Passo 1
O enunciado pede para determinar o valor da integral
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função integranda é
. - O domínio de integração é toda a reta real,
. - A presença de
indica que o comportamento da função muda em . - A pergunta é apenas um único valor numérico: o valor da integral imprópria.
Passo 2
Primeiro passo prático: verificar a simetria (paridade) da integranda para simplificar a integral. Definimos
Calculamos
:
Como
(valor absoluto é função par) e
(seno é ímpar), obtemos
Logo
é uma função par. Quando a integranda é par, a integral sobre a reta inteira é o dobro da integral sobre
. Portanto
Passo 3
Agora usamos que, para
,
. Assim a integral fica
Precisamos calcular
. Uma técnica prática é usar um resultado padrão de transformada de Laplace. Vamos primeiro obter a fórmula básica
para
e
.
Passo 4
Cálculo de
(passo-a-passo didático):
- Note que
, a parte imaginária de . - Então
- A integral geométrica
converge para e vale . - Então
- Escrevendo
, a parte imaginária é .
Portanto
Passo 5
Agora queremos a integral com fator
. Observação útil: derivar em
a expressão acima traz um fator
para dentro da integral, porque
Formalmente,
Portanto
Calculamos a derivada no lado direito:
Com o sinal menos da relação anterior:
Passo 6
Aplicamos a fórmula com
e
(porque na nossa integral temos
e
):
- Calcule
. - Então
. - O numerador é
.
Logo
Voltando ao fator
do Passo 3: