Exercício 15: Dada a função
, determine
. (Resp.:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar
.
Informações relevantes fornecidas: a função é um produto de duas parcelas, cada uma sendo uma potência de uma expressão em
: a primeira parcela é
e a segunda é
. Não há outras restrições nem valores numéricos a avaliar — só pedir a derivada geral em termos de
.
Informações relevantes fornecidas: a função
Passo 2
Escolha do método: como
é produto de duas funções de
, vamos usar a regra do produto. Além disso, cada parcela é uma composição (uma expressão elevada a uma potência), então, ao derivar cada parcela individualmente, vamos usar a regra da cadeia (chain rule). Vou explicar as duas regras brevemente e com exemplos simples antes de aplicar ao problema.
Regra do produto (fórmula): se
então
Regra da cadeia (fórmula para potência): se
com
função de
e
constante, então
Exemplo rápido (didático): para
, temos
e
, então
Pronto — agora aplicamos isso ao nosso
.
Passo 3
Identificamos as duas funções do produto:
Vamos derivar
usando a regra da cadeia. Tome
. Então
e
. Aplicando a regra da cadeia:
Multiplicando os coeficientes
e
obtemos
Passo 4
Agora derivamos
. Tome
. Então
e
. Aplicando a regra da cadeia (potência
):
Passo 5
Aplicamos a regra do produto
. Substituindo
obtidos:
Agora escrevemos cada termo explicitamente:
Passo 6
Arrumando a expressão (apenas reordenando os fatores para ficar mais legível), temos
Se quiser, pode-se fatorar um fator comum
, mas a forma acima já corresponde à resposta pedida.