Exercício 15: Dada a função y=\left(3 x^{2}+1\right)^{3} \cdot\left(x-x^{2}\right)^{2}, determine d y / d x. (Resp.: \left.2\left(3 \mathrm{x}^{2}+1\right)^{3}\left(x-x^{2}\right)(1-2 x)+18 x\left(3 x^{2}+1\right)^{2}\left(x-x^{2}\right)^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\left(3x^{2}+1\right)^{3}\cdot\left(x-x^{2}\right)^{2}
e pede para determinar \dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes fornecidas: a função y é um produto de duas parcelas, cada uma sendo uma potência de uma expressão em x: a primeira parcela é \left(3x^{2}+1\right)^{3} e a segunda é \left(x-x^{2}\right)^{2}. Não há outras restrições nem valores numéricos a avaliar — só pedir a derivada geral em termos de x.

Passo 2

Escolha do método: como y é produto de duas funções de x, vamos usar a regra do produto. Além disso, cada parcela é uma composição (uma expressão elevada a uma potência), então, ao derivar cada parcela individualmente, vamos usar a regra da cadeia (chain rule). Vou explicar as duas regras brevemente e com exemplos simples antes de aplicar ao problema.
Regra do produto (fórmula): se y = f(x)\,g(x) então
\frac{d}{dx}\big(f(x)g(x)\big)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
Regra da cadeia (fórmula para potência): se h(x) = [u(x)]^{n} com u função de x e n constante, então
h'(x)=n\,[u(x)]^{\,n-1}\cdot u'(x).
Exemplo rápido (didático): para h(x)=(2x+3)^{4}, temos u(x)=2x+3 e u'(x)=2, então
h'(x)=4(2x+3)^{3}\cdot 2 =8(2x+3)^{3}.
Pronto — agora aplicamos isso ao nosso y.

Passo 3

Identificamos as duas funções do produto:
f(x)=\left(3x^{2}+1\right)^{3},\qquad g(x)=\left(x-x^{2}\right)^{2}.
Vamos derivar f(x) usando a regra da cadeia. Tome u(x)=3x^{2}+1. Então f(x)=[u(x)]^{3} e u'(x)=6x. Aplicando a regra da cadeia:
f'(x)=3\,[u(x)]^{2}\cdot u'(x)=3\left(3x^{2}+1\right)^{2}\cdot 6x.
Multiplicando os coeficientes 3 e 6x obtemos
f'(x)=18x\left(3x^{2}+1\right)^{2}.

Passo 4

Agora derivamos g(x). Tome v(x)=x-x^{2}. Então g(x)=[v(x)]^{2} e v'(x)=1-2x. Aplicando a regra da cadeia (potência 2):
g'(x)=2\,[v(x)]^{1}\cdot v'(x)=2\left(x-x^{2}\right)\cdot(1-2x).

Passo 5

Aplicamos a regra do produto \dfrac{d}{dx}(f g)=f'g+fg'. Substituindo f,f',g,g' obtidos:
\frac{dy}{dx}=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g'(x).
Agora escrevemos cada termo explicitamente:
\frac{dy}{dx}= \Big(18x\left(3x^{2}+1\right)^{2}\Big)\cdot\Big(\left(x-x^{2}\right)^{2}\Big) + \Big(\left(3x^{2}+1\right)^{3}\Big)\cdot\Big(2\left(x-x^{2}\right)(1-2x)\Big).

Passo 6

Arrumando a expressão (apenas reordenando os fatores para ficar mais legível), temos
\frac{dy}{dx}=2\left(3x^{2}+1\right)^{3}\left(x-x^{2}\right)(1-2x)+18x\left(3x^{2}+1\right)^{2}\left(x-x^{2}\right)^{2}.
Se quiser, pode-se fatorar um fator comum \left(3x^{2}+1\right)^{2}\left(x-x^{2}\right), mas a forma acima já corresponde à resposta pedida.

Resposta

\;2\left(3x^{2}+1\right)^{3}\left(x-x^{2}\right)(1-2x)+18x\left(3x^{2}+1\right)^{2}\left(x-x^{2}\right)^{2}

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