Exercício 13: Derive
em relação a
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
em relação a
.
Informações fornecidas e observações imediatas:
Informações fornecidas e observações imediatas:
- A função é
. - O argumento do logaritmo é
. - Para que
esteja definido precisamos de . Note que e como para todo , a condição fica . Portanto a função só existe para . - A resposta esperada (dada no enunciado) é
.
Nada é resolvido ainda; só organizei o que o problema pede e os dados relevantes.
Passo 2
Vamos lembrar uma regra fundamental que usaremos: a derivada do logaritmo natural composto.
Se tivermos uma função composta , onde
é diferenciável e
, então a derivada de
é dada pela regra da cadeia combinada com a derivada de
:
Se tivermos uma função composta
Explicando: a derivada de
em relação a
é
. Como
depende de
, pela regra da cadeia multiplicamos por
. Aqui:
é a função interna,
é a derivada dela. Esse é o formato que vamos usar.
Passo 3
Agora precisamos saber derivar a função interna
. Para isso usamos regras básicas de derivação de polinômios:
- Regra do expoente (power rule):
. - Constante multiplicativa:
.
Aplicando essas regras term a termo em:
Passo 4
Calculemos
passo a passo:
- Para
, pela regra do expoente: . - Para
, pela regra da constante multiplicativa: .
Somando os resultados (derivada de soma = soma das derivadas):
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula do Passo 2 para
. Substituindo
e
na fórmula
, obtemos:
Passo 6
Podemos observar algumas coisas úteis para a prova:
- É comum fatorar o denominador para entender domínio ou possíveis simplificações:
. Como nunca zera, não há fator no numerador para cancelar com o denominador (o numerador é , que não tem fator comum). Então a forma final já está simplificada. - Lembre-se: a derivada só faz sentido onde a função original existe e é diferenciável. Aqui a função existe para
, então a derivada válida é para .
Passo 7
Checagem rápida (útil na prova para ganhar confiança): calcule
pela fórmula:
Você poderia também derivar numericamente e comparar — dá o mesmo resultado, então a fórmula parece correta.