Exercício 13: Derive f(x)=\ln \left(x^{3}+2 x\right) em relação a x . \quad\left(\operatorname{Resp} .: \frac{\left(3 x^{2}+2\right)}{\left(x^{3}+2 x\right)}\right)

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função \displaystyle f(x)=\ln\bigl(x^{3}+2x\bigr) em relação a x.
Informações fornecidas e observações imediatas:
  • A função é f(x)=\ln\bigl(x^{3}+2x\bigr).
  • O argumento do logaritmo é x^{3}+2x.
  • Para que \ln esteja definido precisamos de x^{3}+2x>0. Note que x^{3}+2x=x\bigl(x^{2}+2\bigr) e como \bigl(x^{2}+2\bigr)>0 para todo x, a condição fica x>0. Portanto a função só existe para x>0.
  • A resposta esperada (dada no enunciado) é \displaystyle \frac{3x^{2}+2}{x^{3}+2x}.
    Nada é resolvido ainda; só organizei o que o problema pede e os dados relevantes.

Passo 2

Vamos lembrar uma regra fundamental que usaremos: a derivada do logaritmo natural composto.
Se tivermos uma função composta \displaystyle F(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr), onde u(x) é diferenciável e u(x)>0, então a derivada de F é dada pela regra da cadeia combinada com a derivada de \ln:
F'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicando: a derivada de \ln(t) em relação a t é \displaystyle \frac{1}{t}. Como t=u(x) depende de x, pela regra da cadeia multiplicamos por u'(x). Aqui: u(x) é a função interna, u'(x) é a derivada dela. Esse é o formato que vamos usar.

Passo 3

Agora precisamos saber derivar a função interna u(x)=x^{3}+2x. Para isso usamos regras básicas de derivação de polinômios:
  • Regra do expoente (power rule): \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
  • Constante multiplicativa: \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(a\cdot x\bigr)=a.
    Aplicando essas regras term a termo em u(x)=x^{3}+2x:

Passo 4

Calculemos u'(x) passo a passo:
  • Para \displaystyle x^{3}, pela regra do expoente: \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.
  • Para \displaystyle 2x, pela regra da constante multiplicativa: \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(2x\bigr)=2.
    Somando os resultados (derivada de soma = soma das derivadas):
u'(x)=3x^{2}+2.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula do Passo 2 para f(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr). Substituindo u(x)=x^{3}+2x e u'(x)=3x^{2}+2 na fórmula \displaystyle f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}, obtemos:
f'(x)=\frac{3x^{2}+2}{x^{3}+2x}.

Passo 6

Podemos observar algumas coisas úteis para a prova:
  • É comum fatorar o denominador para entender domínio ou possíveis simplificações: x^{3}+2x=x\bigl(x^{2}+2\bigr). Como \bigl(x^{2}+2\bigr)>0 nunca zera, não há fator x no numerador para cancelar com o denominador (o numerador é 3x^{2}+2, que não tem fator x comum). Então a forma final já está simplificada.
  • Lembre-se: a derivada só faz sentido onde a função original existe e é diferenciável. Aqui a função existe para x>0, então a derivada válida é para x>0.

Passo 7

Checagem rápida (útil na prova para ganhar confiança): calcule f'(1) pela fórmula:
f'(1)=\frac{3\cdot1^{2}+2}{1^{3}+2\cdot1}=\frac{3+2}{1+2}=\frac{5}{3}.
Você poderia também derivar numericamente e comparar — dá o mesmo resultado, então a fórmula parece correta.

Resposta

\displaystyle \frac{3x^{2}+2}{x^{3}+2x}

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