Exercício 12: Derive
em relação a
. (Resp.:
)
Passo 1
O enunciado pede para derivar em relação a
a função
.\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função cuja derivada devemos encontrar é
. - Não há restrições adicionais dadas (domínio implícito é o conjunto dos reais).
- A resposta indicada é
.
Passo 2
Entendendo a ideia principal (a “ferramenta” que vamos usar): quando temos uma função composta, isto é, uma função do tipo
em que
é outra função de
, usamos a regra da cadeia para derivar. A regra da cadeia diz, em forma prática:
O que isso significa, em linguagem simples: primeiro derivamos a função de fora (
), o que dá
avaliado no argumento interno; depois multiplicamos pelo derivado do argumento interno
. Aqui cada símbolo significa:
-
é a função seno; -
é a função interna (o que está dentro do seno); -
é a derivada da função interna em relação a ; -
é a derivada do seno avaliada no argumento interno.
Exemplo simples para fixar: se
, então
e
, logo
.
Passo 3
Identificar a função interna no problema: aqui a parte interna é
Agora vamos calcular a derivada de
. Usamos a regra do polinômio (regra da potência): para qualquer
,
Aplicando termo a termo em
:
-
, -
.
Somando estes resultados, obtemos
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia usando o
que achamos e o fato de que a derivada de
é
. Substituindo na fórmula da regra da cadeia:
Aqui fizemos exatamente: derivada do exterior
vira
com o mesmo argumento
, e multiplicamos pelo derivado da parte interna
.
Passo 5
Pequena verificação rápida para dar confiança: se avaliarmos em
, a fórmula dá
o que faz sentido porque a inclinação nesse ponto é zero (o fator
zera em
). Isso é só uma checagem simples para ver que a expressão funciona em um caso concreto.