Exercício 12: Derive g(x)=\operatorname{sen}\left(x^{3}+x^{2}\right) em relação a x. (Resp.: \left(3 x^{2}+2 x\right) \cos \left(x^{3}+x^{2}\right) )

Passo 1

O enunciado pede para derivar em relação a x a função g(x)=\operatorname{sen}\left(x^{3}+x^{2}\right).\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função cuja derivada devemos encontrar é g(x)=\operatorname{sen}\bigl(x^{3}+x^{2}\bigr).
  • Não há restrições adicionais dadas (domínio implícito é o conjunto dos reais).
  • A resposta indicada é \left(3 x^{2}+2 x\right) \cos \left(x^{3}+x^{2}\right).

Passo 2

Entendendo a ideia principal (a “ferramenta” que vamos usar): quando temos uma função composta, isto é, uma função do tipo \operatorname{sen}(u(x)) em que u(x) é outra função de x, usamos a regra da cadeia para derivar. A regra da cadeia diz, em forma prática:
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}\bigl(u(x)\bigr)=u'(x)\cdot \cos\bigl(u(x)\bigr).
O que isso significa, em linguagem simples: primeiro derivamos a função de fora ( \operatorname{sen}), o que dá \cos avaliado no argumento interno; depois multiplicamos pelo derivado do argumento interno u'(x). Aqui cada símbolo significa:
  • \operatorname{sen} é a função seno;
  • u(x) é a função interna (o que está dentro do seno);
  • u'(x) é a derivada da função interna em relação a x;
  • \cos\bigl(u(x)\bigr) é a derivada do seno avaliada no argumento interno.
Exemplo simples para fixar: se h(x)=\operatorname{sen}(2x), então u(x)=2x e u'(x)=2, logo h'(x)=2\cos(2x).

Passo 3

Identificar a função interna no problema: aqui a parte interna é
u(x)=x^{3}+x^{2}.
Agora vamos calcular a derivada de u(x). Usamos a regra do polinômio (regra da potência): para qualquer x^{n},
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aplicando termo a termo em u(x)=x^{3}+x^{2}:
  • \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2},
  • \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.
    Somando estes resultados, obtemos
u'(x)=3x^{2}+2x.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia usando o u'(x) que achamos e o fato de que a derivada de \operatorname{sen} é \cos. Substituindo na fórmula da regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}\bigl(x^{3}+x^{2}\bigr)=\bigl(3x^{2}+2x\bigr)\cdot \cos\bigl(x^{3}+x^{2}\bigr).
Aqui fizemos exatamente: derivada do exterior \operatorname{sen} vira \cos com o mesmo argumento x^{3}+x^{2}, e multiplicamos pelo derivado da parte interna 3x^{2}+2x.

Passo 5

Pequena verificação rápida para dar confiança: se avaliarmos em x=0, a fórmula dá
g'(0)=\bigl(3\cdot 0^{2}+2\cdot 0\bigr)\cos\bigl(0^{3}+0^{2}\bigr)=0\cdot\cos(0)=0,
o que faz sentido porque a inclinação nesse ponto é zero (o fator 3x^{2}+2x zera em x=0). Isso é só uma checagem simples para ver que a expressão funciona em um caso concreto.

Resposta

\left(3 x^{2}+2 x\right) \cos \left(x^{3}+x^{2}\right)

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