Exercício 14. Dada a função
f(x)= \begin{cases}x & \text { se } x \leq 1 \\\\ 2 & \text { se } x>1\end{cases}
mostre que não existe f^{\prime}(1).
Resposta: Para ver isso, basta fazer os limites laterais e observar que são distintos: pela esquerda a derivada seria 1 e pela direita seria 0 .

Passo 1

O enunciado dá uma função definida por partes:
f(x)= \begin{cases} x, & x\le1,\\\\ 2, & x>1, \end{cases}
e pede f'(1). Para mostrar que f'(1) não existe, vamos usar a definição de derivada em um ponto como limite do quociente incremental pelas duas direções (esquerda e direita) e verificar que esses limites laterais não coincidem.

Passo 2

Calcular a derivada pela esquerda em x=1. Tomamos h<0, de modo que 1+h\le1 e, portanto, f(1+h)=1+h e f(1)=1. O quociente incremental é
\frac{f(1+h)-f(1)}{h} =\frac{(1+h)-1}{h} =\frac{h}{h} =1.
Logo,
\lim_{h\to0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=1.

Passo 3

Calcular a derivada pela direita em x=1. Agora h>0, então 1+h>1 e f(1+h)=2, enquanto f(1)=1. O quociente incremental fica
\frac{f(1+h)-f(1)}{h} =\frac{2-1}{h} =\frac{1}{h},
e, ao fazer h\to0^+,
\lim_{h\to0^+}\frac{1}{h}=+\infty.
Esse limite lateral não é igual a 1 (além de nem ser finito).

Resposta

Não existe f'(1) pois
\lim_{h\to0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=1 \quad\text{e}\quad \lim_{h\to0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=+\infty,
ou seja, os limites laterais são distintos.

Exercícios relacionados