Exercício 15. Determine, em
, o conjunto verdade das seguintes inequações:
Passo 1
O enunciado pede: determinar, em
, o conjunto-verdade da inequação
Informações dadas e condições importantes:
- A expressão é a razão
. - Devemos encontrar todos os
que satisfazem a desigualdade. - Note que
torna o denominador zero, então não pertence ao domínio da expressão (a inequação não pode ser avaliada nesse ponto).
Passo 2
Primeiro passo algébrico: passar tudo para um único lado, obtendo uma única fração para analisar o sinal. Subtraímos
dos dois lados:
Agora vamos escrever a diferença como uma única fração usando o mesmo denominador
.
Passo 3
Fazer a subtração com denominador comum:
Desenvolvendo o numerador:
Logo a inequação vira
Passo 4
Para ficar mais confortável com os sinais, fatoramos um
no numerador:
Multiplicar ambos os lados da desigualdade por
inverte o sinal da desigualdade. Assim
Portanto basta encontrar onde a função racional
é positiva.
Passo 5
Explicando o método (aula rápida e prática): para decidir onde uma fração racional
é positiva, identificamos os pontos críticos onde
(zera a fração) e onde
(a fração é indefinida). Esses pontos dividem a reta em intervalos; em cada intervalo o sinal de
é constante. Então basta testar o sinal em cada intervalo ou usar o método dos sinais (verificação por sinais de fatores).
Aqui:
- Numerador zero quando
. - Denominador zero quando
(já observamos que esse ponto é excluído do domínio).
Logo os pontos críticos são
e
, que dividem a reta em três intervalos:
Passo 6
Agora determinamos o sinal de
em cada intervalo. Podemos avaliar o sinal dos fatores
e
separadamente.
-
Para
: -
(então numerador negativo). -
(denominador negativo). - Razão: negativo dividido por negativo é positivo. Logo
nesse intervalo.
-
-
Para
: - Tome, por exemplo,
: (numerador negativo). -
(denominador positivo). - Razão: negativo dividido por positivo é negativo. Logo
nesse intervalo.
- Tome, por exemplo,
-
Para
: -
(pois torna o numerador positivo). -
. - Razão: positivo dividido por positivo é positivo. Logo
nesse intervalo.
-
Passo 7
Lembrando: a condição equivalente que obtivemos foi
. Portanto os intervalos onde essa fração é positiva são exatamente
Devemos verificar se devemos incluir os pontos críticos:
-
não pode ser incluído porque torna o denominador zero (a expressão original não está definida). -
faz , ou seja a fração valeria e, voltando à inequação original, isso corresponde a . Como a desigualdade é estrita , o ponto onde ocorre igualdade não deve ser incluído. Portanto também não é incluído.
Passo 8
Conclusão final: a solução da inequação é a união dos intervalos onde a fração é positiva, excluindo os pontos críticos. Assim o conjunto-verdade é