Exercício 15. Determine, em mathbb{R}, o conjunto verdade das seguintes inequações:
\frac{2 x+1}{x-3}<4

Passo 1

O enunciado pede: determinar, em \mathbb{R}, o conjunto-verdade da inequação
\frac{2x+1}{x-3}<4.
Informações dadas e condições importantes:
  • A expressão é a razão \frac{2x+1}{x-3}.
  • Devemos encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a desigualdade.
  • Note que x=3 torna o denominador zero, então x=3 não pertence ao domínio da expressão (a inequação não pode ser avaliada nesse ponto).

Passo 2

Primeiro passo algébrico: passar tudo para um único lado, obtendo uma única fração para analisar o sinal. Subtraímos 4 dos dois lados:
\frac{2x+1}{x-3}-4<0.
Agora vamos escrever a diferença como uma única fração usando o mesmo denominador x-3.

Passo 3

Fazer a subtração com denominador comum:
\frac{2x+1}{x-3}-4=\frac{2x+1-4(x-3)}{x-3}.
Desenvolvendo o numerador:
2x+1-4(x-3)=2x+1-4x+12=-2x+13.
Logo a inequação vira
\frac{-2x+13}{x-3}<0.

Passo 4

Para ficar mais confortável com os sinais, fatoramos um -1 no numerador:
\frac{-2x+13}{x-3}=-\frac{2x-13}{x-3}.
Multiplicar ambos os lados da desigualdade por -1 inverte o sinal da desigualdade. Assim
-\frac{2x-13}{x-3}<0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{2x-13}{x-3}>0.
Portanto basta encontrar onde a função racional \frac{2x-13}{x-3} é positiva.

Passo 5

Explicando o método (aula rápida e prática): para decidir onde uma fração racional \frac{N(x)}{D(x)} é positiva, identificamos os pontos críticos onde N(x)=0 (zera a fração) e onde D(x)=0 (a fração é indefinida). Esses pontos dividem a reta em intervalos; em cada intervalo o sinal de \frac{N(x)}{D(x)} é constante. Então basta testar o sinal em cada intervalo ou usar o método dos sinais (verificação por sinais de fatores).
Aqui:
  • Numerador zero quando 2x-13=0\Rightarrow x=\frac{13}{2}=6{,}5.
  • Denominador zero quando x-3=0\Rightarrow x=3 (já observamos que esse ponto é excluído do domínio).
Logo os pontos críticos são x=3 e x=\frac{13}{2}, que dividem a reta em três intervalos:
(-\infty,3),\quad (3,\tfrac{13}{2}),\quad (\tfrac{13}{2},\infty).

Passo 6

Agora determinamos o sinal de \frac{2x-13}{x-3} em cada intervalo. Podemos avaliar o sinal dos fatores 2x-13 e x-3 separadamente.
  • Para x\in(-\infty,3):
    • 2x-13<2\cdot3-13=6-13=-7<0 (então numerador negativo).
    • x-3<0 (denominador negativo).
    • Razão: negativo dividido por negativo é positivo. Logo \frac{2x-13}{x-3}>0 nesse intervalo.
  • Para x\in(3,\tfrac{13}{2}):
    • Tome, por exemplo, x=4: 2x-13=8-13=-5<0 (numerador negativo).
    • x-3>0 (denominador positivo).
    • Razão: negativo dividido por positivo é negativo. Logo \frac{2x-13}{x-3}<0 nesse intervalo.
  • Para x\in(\tfrac{13}{2},\infty):
    • 2x-13>0 (pois x>\tfrac{13}{2} torna o numerador positivo).
    • x-3>0.
    • Razão: positivo dividido por positivo é positivo. Logo \frac{2x-13}{x-3}>0 nesse intervalo.

Passo 7

Lembrando: a condição equivalente que obtivemos foi \frac{2x-13}{x-3}>0. Portanto os intervalos onde essa fração é positiva são exatamente
(-\infty,3)\quad\text{e}\quad\left(\tfrac{13}{2},\infty\right).
Devemos verificar se devemos incluir os pontos críticos:
  • x=3 não pode ser incluído porque torna o denominador zero (a expressão original não está definida).
  • x=\tfrac{13}{2} faz 2x-13=0, ou seja a fração valeria 0 e, voltando à inequação original, isso corresponde a \frac{2x+1}{x-3}=4. Como a desigualdade é estrita <4, o ponto onde ocorre igualdade não deve ser incluído. Portanto x=\tfrac{13}{2} também não é incluído.

Passo 8

Conclusão final: a solução da inequação é a união dos intervalos onde a fração é positiva, excluindo os pontos críticos. Assim o conjunto-verdade é
(-\infty,3)\cup\left(\tfrac{13}{2},\infty\right).

Resposta

(-\infty,3)\cup\left(\tfrac{13}{2},\infty\right)

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