Exercício 15. Determine, em mathbb{R}, o conjunto verdade das seguintes inequações:
(5 x+4)^{4} \cdot(7 x-2)^{3} \leq 0

Passo 1

O que o exercício pede: determinar, em \mathbb{R}, o conjunto verdade da inequação
(5x+4)^{4}\cdot(7x-2)^{3}\leq 0.
Informações dadas (lista de dados relevantes do enunciado):
  • A expressão é um produto de dois fatores: (5x+4)^{4} e (7x-2)^{3}.
  • Os expoentes são \,4 (par) e \,3 (ímpar).
  • Queremos todos os x\in\mathbb{R} que tornam o produto menor ou igual a zero.

Passo 2

A primeira coisa útil é achar onde cada fator se anula (as raízes), porque aí o produto pode ser zero e porque essas raízes dividem a reta em intervalos onde o sinal dos fatores é constante.
Resolver (5x+4)=0
5x+4=0 \Rightarrow x=-\frac{4}{5}.
Resolver (7x-2)=0
7x-2=0 \Rightarrow x=\frac{2}{7}.
Observação sobre multiplicidade (importante para o comportamento do sinal):
  • A raiz x=-\frac{4}{5} vem do fator elevado a \,4 (expoente par), então tem multiplicidade 4 (par). Isso implica que ao atravessar essa raiz o sinal do fator (5x+4)^{4} NÃO muda: ele é sempre não negativo e fica exatamente zero em x=-\frac{4}{5}.
  • A raiz x=\frac{2}{7} vem do fator elevado a \,3 (expoente ímpar), multiplicidade 3 (ímpar). Isso implica que ao atravessar essa raiz o sinal do fator (7x-2)^{3} MUDA de sinal (pois potência ímpar preserva o sinal do seu base).

Passo 3

Agora vamos montar os intervalos determinados pelas raízes, ordenando-as na reta:
-\infty < -\frac{4}{5} < \frac{2}{7} < +\infty.
Vamos analisar o sinal dos dois fatores em cada intervalo. Lembre-se: (5x+4)^{4}\ge 0 para todo x, com igualdade só em x=-\frac{4}{5}. Já (7x-2)^{3} tem sinal igual ao sinal de (7x-2).
Escolhemos pontos de teste simples:
  • Para o intervalo \left(-\infty,-\frac{4}{5}\right), tome x=-1.
    • (5(-1)+4)^{4} = (-1)^{4}>0 (positivo).
    • (7(-1)-2)^{3} = (-9)^{3}<0 (negativo).
    • Produto: positivo \times negativo = negativo.
  • Para o intervalo \left(-\frac{4}{5},\frac{2}{7}\right), tome x=0.
    • (5\cdot 0+4)^{4}=4^{4}>0 (positivo).
    • (7\cdot 0-2)^{3}=(-2)^{3}<0 (negativo).
    • Produto: positivo \times negativo = negativo.
  • Para o intervalo \left(\frac{2}{7},+\infty\right), tome x=1.
    • (5\cdot 1+4)^{4}=9^{4}>0 (positivo).
    • (7\cdot 1-2)^{3}=5^{3}>0 (positivo).
    • Produto: positivo \times positivo = positivo.
Conclusão desta análise de sinais:
  • Em todos os pontos com x<\frac{2}{7} (exceto possivelmente em x=-\frac{4}{5}) o produto é negativo.
  • Para x>\frac{2}{7} o produto é positivo.
  • Em x=-\frac{4}{5} o fator (5x+4)^{4}=0, logo o produto é 0.
  • Em x=\frac{2}{7} o fator (7x-2)^{3}=0, logo o produto é 0.

Passo 4

Agora traduzimos a análise de sinais para a solução da inequação (5x+4)^{4}\cdot(7x-2)^{3}\le 0.
Lembre-se: queremos os x que tornam o produto menor ou igual a zero. Pelos sinais obtidos:
  • Para x<\frac{2}{7} o produto é negativo (logo satisfaz \le 0).
  • Em x=\frac{2}{7} o produto é zero (satisfaz).
  • Em x=-\frac{4}{5} o produto é zero (satisfaz).
  • Para x>\frac{2}{7} o produto é positivo (não satisfaz).
Portanto todos os x até \frac{2}{7} (incluindo \frac{2}{7}) satisfazem a inequação. Não há nenhum ponto maior que \frac{2}{7} que satisfaça.

Passo 5

Escrevendo o conjunto solução em notação de intervalo, obtemos
\left(-\infty,\frac{2}{7}\right]
ou seja, todos os números reais menores ou iguais a \frac{2}{7}.

Resposta

\left(-\infty,\dfrac{2}{7}\right]

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