Exercício 15. Determine, em
, o conjunto verdade das seguintes inequações:
Passo 1
O que o exercício pede: determinar, em
, o conjunto verdade da inequação
Informações dadas (lista de dados relevantes do enunciado):
- A expressão é um produto de dois fatores:
e . - Os expoentes são
(par) e (ímpar). - Queremos todos os
que tornam o produto menor ou igual a zero.
Passo 2
A primeira coisa útil é achar onde cada fator se anula (as raízes), porque aí o produto pode ser zero e porque essas raízes dividem a reta em intervalos onde o sinal dos fatores é constante.
Resolver
dá
Resolver
dá
Observação sobre multiplicidade (importante para o comportamento do sinal):
- A raiz
vem do fator elevado a (expoente par), então tem multiplicidade (par). Isso implica que ao atravessar essa raiz o sinal do fator NÃO muda: ele é sempre não negativo e fica exatamente zero em . - A raiz
vem do fator elevado a (expoente ímpar), multiplicidade (ímpar). Isso implica que ao atravessar essa raiz o sinal do fator MUDA de sinal (pois potência ímpar preserva o sinal do seu base).
Passo 3
Agora vamos montar os intervalos determinados pelas raízes, ordenando-as na reta:
Vamos analisar o sinal dos dois fatores em cada intervalo. Lembre-se:
para todo
, com igualdade só em
. Já
tem sinal igual ao sinal de
.
Escolhemos pontos de teste simples:
- Para o intervalo
, tome . -
(positivo). -
(negativo). - Produto: positivo
negativo = negativo.
-
- Para o intervalo
, tome . -
(positivo). -
(negativo). - Produto: positivo
negativo = negativo.
-
- Para o intervalo
, tome . -
(positivo). -
(positivo). - Produto: positivo
positivo = positivo.
-
Conclusão desta análise de sinais:
- Em todos os pontos com
(exceto possivelmente em ) o produto é negativo. - Para
o produto é positivo. - Em
o fator , logo o produto é . - Em
o fator , logo o produto é .
Passo 4
Agora traduzimos a análise de sinais para a solução da inequação
.
Lembre-se: queremos os
que tornam o produto menor ou igual a zero. Pelos sinais obtidos:
- Para
o produto é negativo (logo satisfaz ). - Em
o produto é zero (satisfaz). - Em
o produto é zero (satisfaz). - Para
o produto é positivo (não satisfaz).
Portanto todos os
até
(incluindo
) satisfazem a inequação. Não há nenhum ponto maior que
que satisfaça.
Passo 5
Escrevendo o conjunto solução em notação de intervalo, obtemos
ou seja, todos os números reais menores ou iguais a
.