Represente graficamente os conjuntos dados abaixo e classique-os em aberto, fechado, limitado.
Passo 1
O enunciado pede para representar graficamente no plano complexo o conjunto
e classificá-lo como aberto ou fechado e como limitado ou não. Vamos usar a interpretação usual em que
é o ponto
no plano
, de modo que
.
Passo 2
Em coordenadas cartesianas, o conjunto fica
A fronteira deste conjunto é a reta horizontal
. Como temos a desigualdade “
”, essa reta pertence ao conjunto. A região inteira acima dela (para
) também pertence.
Passo 3
Para o desenho, traçamos a reta sólida
e sombreámos todo o semi-plano acima dela, incluindo a própria reta.
Passo 4
Verificamos a natureza topológica:
- A reta
(fronteira) está contida no conjunto, logo ele contém todos os seus pontos de limite. - O complemento é
, que é um semi-plano aberto.
Portanto, o conjunto é fechado.
Passo 5
Quanto à limitação, para qualquer valor arbitrariamente grande de
ou de
(tendo
), temos pontos no conjunto. Logo, ele não é limitado.
Resposta
A representação é o semi-plano fechado acima da reta
. O conjunto é fechado e não limitado.