Represente graficamente os conjuntos dados abaixo e classique-os em aberto, fechado, limitado.
\operatorname{Im}(z) \geq 1

Passo 1

O enunciado pede para representar graficamente no plano complexo o conjunto
\{\,z\in\mathbb{C}\mid \Im(z)\ge 1\}
e classificá-lo como aberto ou fechado e como limitado ou não. Vamos usar a interpretação usual em que z=x+iy é o ponto (x,y) no plano \mathbb{R}^2, de modo que \Im(z)=y.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas, o conjunto fica
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y\ge 1\}.
A fronteira deste conjunto é a reta horizontal y=1. Como temos a desigualdade “ \ge”, essa reta pertence ao conjunto. A região inteira acima dela (para y>1) também pertence.

Passo 3

Para o desenho, traçamos a reta sólida y=1 e sombreámos todo o semi-plano acima dela, incluindo a própria reta.

Passo 4

Verificamos a natureza topológica:
  • A reta y=1 (fronteira) está contida no conjunto, logo ele contém todos os seus pontos de limite.
  • O complemento é \{\,y<1\}, que é um semi-plano aberto.
Portanto, o conjunto é fechado.

Passo 5

Quanto à limitação, para qualquer valor arbitrariamente grande de x ou de y (tendo y\ge1), temos pontos no conjunto. Logo, ele não é limitado.

Resposta

A representação é o semi-plano fechado acima da reta \Im(z)=1. O conjunto é fechado e não limitado.

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