Exercício 15 Determine se os vetores
são linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado dá dois vetores no espaço
:
A pergunta é: determinar se esses dois vetores são linearmente independentes (ou seja, se há apenas a combinação trivial que os anula) ou se são linearmente dependentes (isto é, existe uma combinação linear não trivial que dá o vetor nulo).
Passo 2
Definição e ideia prática (passo-a-passo como provar na prova).
- Dizemos que dois vetores
e são linearmente independentes se a única solução do sistema
é
e
. Aqui
e
são escalares (números reais) e
é o vetor nulo
.
- Um atalho prático para o caso de dois vetores é: se um vetor é múltiplo escalar exato do outro (isto é,
para algum ), então são linearmente dependentes. Se não existe tal , então são independentes.
Passo 3
Aplicando a definição ao caso concreto. Escrevemos a combinação linear que deve ser igual ao vetor nulo:
Isso se traduz em um sistema de três equações (uma por componente):
Passo 4
Resolver o sistema passo a passo (mostrar que há solução não trivial).
- Da primeira equação obtemos
- Substituindo esse
nas demais equações verificamos que ambas ficam satisfeitas automaticamente:
- Portanto qualquer escolha de
produz uma solução: por exemplo, se escolhemos então dá
Isto mostra que existe uma combinação linear não trivial (coeficientes não ambos zero) que anula os vetores.
Passo 5
Interpretação e atalho rápido (como responder rápido na prova).
- Observação imediata: cada componente de
é exatamente o dobro da componente correspondente de . Ou seja,
- Sempre que um vetor for múltiplo escalar de outro, os dois são linearmente dependentes. Esse é o jeito mais rápido de ver o resultado numa prova: comparar razões das componentes (aqui
).
Resposta
Os vetores são linearmente dependentes.