Exercício 15 Determine se os vetores (1,2,3) e(2,4,6) são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores no espaço \mathbb{R}^3:
\mathbf{v}_1 = (1,2,3),\qquad \mathbf{v}_2 = (2,4,6).
A pergunta é: determinar se esses dois vetores são linearmente independentes (ou seja, se há apenas a combinação trivial que os anula) ou se são linearmente dependentes (isto é, existe uma combinação linear não trivial que dá o vetor nulo).

Passo 2

Definição e ideia prática (passo-a-passo como provar na prova).
  • Dizemos que dois vetores \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 são linearmente independentes se a única solução do sistema
c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 = \mathbf{0}
é c_1=0 e c_2=0. Aqui c_1 e c_2 são escalares (números reais) e \mathbf{0} é o vetor nulo (0,0,0).
  • Um atalho prático para o caso de dois vetores é: se um vetor é múltiplo escalar exato do outro (isto é, \mathbf{v}_2 = \lambda \mathbf{v}_1 para algum \lambda\in\mathbb{R}), então são linearmente dependentes. Se não existe tal \lambda, então são independentes.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso concreto. Escrevemos a combinação linear que deve ser igual ao vetor nulo:
c_1(1,2,3) + c_2(2,4,6) = (0,0,0).
Isso se traduz em um sistema de três equações (uma por componente):
\begin{cases} c_1 + 2c_2 = 0,\\[4pt] 2c_1 + 4c_2 = 0,\\[4pt] 3c_1 + 6c_2 = 0. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo (mostrar que há solução não trivial).
  • Da primeira equação obtemos
c_1 = -2c_2.
  • Substituindo esse c_1 nas demais equações verificamos que ambas ficam satisfeitas automaticamente:
2(-2c_2) + 4c_2 = -4c_2 + 4c_2 = 0,
3(-2c_2) + 6c_2 = -6c_2 + 6c_2 = 0.
  • Portanto qualquer escolha de c_2 produz uma solução: por exemplo, se escolhemos c_2=1 então c_1=-2
-2(1,2,3) + 1(2,4,6) = (0,0,0).
Isto mostra que existe uma combinação linear não trivial (coeficientes não ambos zero) que anula os vetores.

Passo 5

Interpretação e atalho rápido (como responder rápido na prova).
  • Observação imediata: cada componente de \mathbf{v}_2 é exatamente o dobro da componente correspondente de \mathbf{v}_1. Ou seja,
(2,4,6) = 2\cdot(1,2,3).
  • Sempre que um vetor for múltiplo escalar de outro, os dois são linearmente dependentes. Esse é o jeito mais rápido de ver o resultado numa prova: comparar razões das componentes (aqui 2/1 = 4/2 = 6/3 = 2).

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes.

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