Exercício 0.15 Encontre:
\inf \left\{z=x+x^{-1}: x>0\right\}

Passo 1

O enunciado pede
\inf\bigl\{\,z = x + x^{-1} : x>0\bigr\}
ou seja, queremos o menor valor que a função
f(x) = x + x^{-1}
assume quando x varia em (0,\infty). Para isso, usamos derivadas para encontrar extremos de funções de uma variável.

Passo 2

Calculemos a primeira derivada de
f(x) = x + x^{-1}.
Em detalhe,
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr) = 1 - x^{-2}.

Passo 3

Para achar candidatos a extremo, igualamos f'(x) a zero:
1 - x^{-2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{-2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 1.
Como queremos x>0, concluímos que o ponto crítico é
x = 1.

Passo 4

Precisamos ver se em x=1 temos mínimo. A segunda derivada é
f''(x) = \frac{d}{dx}\bigl(1 - x^{-2}\bigr) = 2\,x^{-3}.
Para todo x>0, f''(x)>0, o que indica que f é côncava para cima e x=1 é mínimo global. Além disso, quando x\to0^+ ou x\to\infty, temos
f(x) = x + x^{-1} \to +\infty,
logo não existe valor menor que f(1).

Resposta

2

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