Exercício 0.15 Encontre:
\inf \left\{z=2^{2}+x^{\frac{3}{2}}: x>0\right\}

Passo 1

O enunciado dá a função
z(x) = 4 + x^{\frac32},\quad x>0,
e pede \inf\{z(x)\colon x>0\}. O conteúdo envolve análise de limites e identificação de cotas de funções de potência.

Passo 2

Para todo x>0 vale x^{\frac32}>0, logo
z(x)>4,
de modo que 4 é uma cota inferior do conjunto. Além disso,
\lim_{x\to0^+}x^{\frac32}=0 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to0^+}z(x)=4,
portanto o ínfimo do conjunto é 4.

Resposta

\inf\{\,4 + x^{\frac32}:x>0\} = 4

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