Exercício 1.15 Identifique e esboce as superfícies:
(g)
.
(g)
Passo 1
O enunciado pede para identificarmos e esboçarmos a superfície dada por
Este é um caso de superfície quadrática em que a variável
depende só de
e não de
. Isso sugere uma superfície cilíndrica, pois não há variação no eixo
.
Passo 2
Analisando as seções transversais paralelas ao plano
(isto é, para cada
fixo), temos
que é uma parábola no plano
com vértice em
e concavidade voltada para baixo.
Passo 3
Nas seções transversais paralelas ao plano
(isto é, para cada
fixo), a equação vira
ou seja, um valor constante de
para todo
. São retas paralelas ao eixo
na altura
.
Passo 4
Nas seções de nível
(planos horizontais), impomos
Para
isso gera duas retas verticais
, e para
não há ponto real, pois a parábola não atinge essas alturas.
Passo 5
Combinando tudo, vemos que em cada plano
constante há uma parábola voltada para baixo, e essas parábolas se repetem indefinidamente ao longo do eixo
. Logo, a superfície é um cilindro parabólico de concavidade voltada para baixo, cujo eixo é paralelo ao eixo
e cujo vértice descreve a reta
Resposta
A superfície é um cilindro parabólico com equação
, de concavidade voltada para baixo e eixo paralelo ao eixo
; em cada plano
constante ela aparece como a parábola
.