Exercício 1.15 Identifique e esboce as superfícies:
(g) z=4-x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para identificarmos e esboçarmos a superfície dada por
z = 4 - x^{2}.
Este é um caso de superfície quadrática em que a variável z depende só de x e não de y. Isso sugere uma superfície cilíndrica, pois não há variação no eixo y.

Passo 2

Analisando as seções transversais paralelas ao plano x\!-\!z (isto é, para cada y=k fixo), temos
z = 4 - x^{2},
que é uma parábola no plano x\!-\!z com vértice em (0,4) e concavidade voltada para baixo.

Passo 3

Nas seções transversais paralelas ao plano y\!-\!z (isto é, para cada x=c fixo), a equação vira
z = 4 - c^{2},
ou seja, um valor constante de z para todo y. São retas paralelas ao eixo y na altura z=4-c^{2}.

Passo 4

Nas seções de nível z=h (planos horizontais), impomos
4 - x^{2} = h \quad\Longrightarrow\quad x^{2} = 4 - h.
Para h\le4 isso gera duas retas verticais x=\pm\sqrt{4-h}, e para h>4 não há ponto real, pois a parábola não atinge essas alturas.

Passo 5

Combinando tudo, vemos que em cada plano y= constante há uma parábola voltada para baixo, e essas parábolas se repetem indefinidamente ao longo do eixo y. Logo, a superfície é um cilindro parabólico de concavidade voltada para baixo, cujo eixo é paralelo ao eixo y e cujo vértice descreve a reta
\{(0,y,4)\mid y\in\mathbb{R}\}.

Resposta

A superfície é um cilindro parabólico com equação z=4-x^{2}, de concavidade voltada para baixo e eixo paralelo ao eixo y; em cada plano y= constante ela aparece como a parábola z=4-x^{2}.

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