Exercício 1.15 Identifique e esboce as superfícies:
(d)
- Parabolóide Elítico.
(d)
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para identificar e esboçar a superfície. O conteúdo aqui é a classificação de superfícies quádricas, em particular formas da família
.
Passo 2
Para reconhecer o tipo, note que os coeficientes de
e
são positivos
e
, sem termos mistos
ou termos lineares em
. Isso coincide com a forma geral de um parabolóide elíptico, cujo vértice está em
e que se abre no sentido positivo de
.
Passo 3
Para entender a “visão de cima”, fixamos
. Obtemos a curva de nível
que é uma elipse centrada em
no plano
. As semi-elipses têm semi-eixos
em
e
em
, crescendo conforme
aumenta.
Passo 4
Examinando cortes frontais:
– Plano : a curva é
– Plano
uma parábola que se abre para cima, mais “estreita” que
.
– Plano : a curva é
– Plano
uma parábola padrão voltada para cima. Esses cortes mostram o perfil parabólico em duas direções ortogonais.
Passo 5
No esboço mental, a superfície tem vértice em
, abre-se para cima e suas seções horizontais são elipses de raios crescentes. Ao desenhar, trace algumas elipses em alturas
e depois ligue suavemente para formar o parabolóide.
Resposta
A superfície é um parabolóide elíptico com vértice em
que se abre no sentido positivo de
, definido por