Exercício 1.15 Identifique e esboce as superfícies:
(d) z=4 x^{2}+y^{2} - Parabolóide Elítico.

Passo 1

O enunciado dá a equação
z = 4x^2 + y^2
e pede para identificar e esboçar a superfície. O conteúdo aqui é a classificação de superfícies quádricas, em particular formas da família z = a x^2 + b y^2.

Passo 2

Para reconhecer o tipo, note que os coeficientes de x^2 e y^2 são positivos 4>0 e 1>0, sem termos mistos xy ou termos lineares em x,y. Isso coincide com a forma geral de um parabolóide elíptico, cujo vértice está em (0,0,0) e que se abre no sentido positivo de z.

Passo 3

Para entender a “visão de cima”, fixamos z=k\ge0. Obtemos a curva de nível
4x^2 + y^2 = k,
que é uma elipse centrada em (0,0) no plano xy. As semi-elipses têm semi-eixos \tfrac{\sqrt{k}}{2} em x e \sqrt{k} em y, crescendo conforme k aumenta.

Passo 4

Examinando cortes frontais:
– Plano y=0: a curva é
z = 4x^2,
uma parábola que se abre para cima, mais “estreita” que z=x^2.
– Plano x=0: a curva é
z = y^2,
uma parábola padrão voltada para cima. Esses cortes mostram o perfil parabólico em duas direções ortogonais.

Passo 5

No esboço mental, a superfície tem vértice em (0,0,0), abre-se para cima e suas seções horizontais são elipses de raios crescentes. Ao desenhar, trace algumas elipses em alturas z=1,2,3 e depois ligue suavemente para formar o parabolóide.

Resposta

A superfície é um parabolóide elíptico com vértice em (0,0,0) que se abre no sentido positivo de z, definido por
z = 4x^2 + y^2.

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