Exercício 1.15 Identifique e esboce as superfícies:
(f) \frac{x^{2}}{4}+y^{2}+\frac{z^{2}}{4}=1-) Hiperbolóide de uma folha.

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície dada pela equação
\frac{x^{2}}{4} + y^{2} + \frac{z^{2}}{4} = 1.
O conteúdo é classificação de quádricas em \mathbb{R}^3 e seu esboço.

Passo 2

Comparemos com a forma geral de elipsoide
\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1.
Aqui os coeficientes são todos positivos, sem subtrações, logo não há hipérboles: a^{2}=4, b^{2}=1, c^{2}=4.

Passo 3

Como todos os termos aparecem com sinal “ +” e somam-se a 1, trata-se de um elipsoide centrado na origem, não de um hiperbolóide de uma folha.

Passo 4

Os semi-eixos do elipsoide são
a = 2,\quad b = 1,\quad c = 2,
logo os pontos de interseção com os eixos coordenados são (\pm2,0,0), (0,\pm1,0) e (0,0,\pm2).

Passo 5

Para esboçar:
  • No plano y=0 a seção é a elipse \tfrac{x^{2}}{4}+\tfrac{z^{2}}{4}=1, raio 2 em x e z.
  • No plano x=0 a seção é a elipse y^{2}+\tfrac{z^{2}}{4}=1, raio 1 em y e 2 em z.
  • No plano z=0 a seção é a elipse \tfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1, raio 2 em x e 1 em y.

Resposta

A superfície é um elipsoide de semi-eixos 2, 1 e 2, com interseções nos pontos (\pm2,0,0), (0,\pm1,0), (0,0,\pm2).

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