Exercício 1.15 Identifique e esboce as superfícies:
(j) 4 y=x^{2}+y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para identificarmos e esboçarmos a superfície dada por
4y = x^{2} + y^{2}.
O conteúdo envolvido é o de superfícies quádricas, em especial cilindros circulares, reconhecendo que não há dependência em z.

Passo 2

Reescrevemos a equação reunindo termos em x e y:
x^{2} + y^{2} - 4y = 0.
Em seguida, completamos o quadrado em y:
x^{2} + \bigl(y^{2} - 4y\bigr) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} + (y - 2)^{2} - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} + (y - 2)^{2} = 4.

Passo 3

A forma
x^{2} + (y - 2)^{2} = 4
é a equação de um círculo de raio 2 e centro em (0,2) no plano xy. Como a equação original não envolve z, qualquer reta paralela ao eixo z que passe por um ponto desse círculo também pertence à superfície. Logo, trata-se de um cilindro circular reto.

Passo 4

Para esboçar a superfície, faça o seguinte:
  1. No plano xy, desenhe o círculo de centro (0,2) e raio 2.
  2. A partir desse círculo, desenhe retas paralelas ao eixo z nos dois sentidos, obtendo um cilindro que se estende infinitamente ao longo de z.

Resposta

A superfície é um cilindro circular reto de raio 2, com eixo paralelo ao eixo z e cuja geratriz é o círculo x^{2} + (y - 2)^{2} = 4 no plano z=\text{constante}.

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