Exercício 1.18 De forma análoga ao que ocorre no Cálculo de uma variável, dadas f e g funções definidas em A \subset \mathbb{R}^{n}, definimos:
\begin{aligned} (f+g)(u) &=f(u)+g(u) \\\ (f g)(u) &=f(u) g(u) \end{aligned}
em particular, (\lambda f)(u)=\lambda f(u), para todo \lambda \in \mathbb{R}.
\left(\frac{f}{g}\right)(u)=\frac{f(u)}{g(u)}
se g(u) \neq 0.
Calcule: f+g, f g , se:
(a) f(x, y)=x^{3}-x y^{2}-x^{2} y-y^{3}+x^{2}+y^{2} e g(x, y)=x^{2} y+x y^{2}-x^{3}.
(b) f(x, y)=x y^{2}-x^{4} y^{3} e g(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+x y}}

Passo 1

O enunciado pede para aplicarmos as definições de soma e produto de funções em \mathbb{R}^n. Em outras palavras, dado
f,g\colon A\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},
definimos
(f+g)(u)=f(u)+g(u), \quad (fg)(u)=f(u)\,g(u).
Vamos usar isso nos itens (a) e (b), calculando primeiro f+g e depois fg em cada caso.

Passo 2

Para o item (a), temos
f(x,y)=x^{3}-x y^{2}-x^{2}y-y^{3}+x^{2}+y^{2}, \quad g(x,y)=x^{2}y+x y^{2}-x^{3}.
Somando termo a termo:
\begin{aligned} (f+g)(x,y)&=(x^{3}-x y^{2}-x^{2}y-y^{3}+x^{2}+y^{2}) +(x^{2}y+x y^{2}-x^{3})\\\ &\;=\;x^{3}-x^{3} \;+\;(-x^{2}y+x^{2}y) \;+\;(-x y^{2}+x y^{2}) \;-\;y^{3} \;+\;x^{2} \;+\;y^{2}\\\ &\;=\;x^{2}+y^{2}-y^{3}. \end{aligned}

Passo 3

Ainda em (a), multiplicamos polinômio por polinômio. Chamando
f = \sum_{i=1}^{6}F_i, \quad g=\sum_{j=1}^{3}G_j,
multiplicamos cada F_iG_j e somamos. O resultado simplificado é
\begin{aligned} (fg)(x,y) &=-x^{6} +2x^{5}y +x^{4}y^{2} - x^{3}y^{3} -2x^{2}y^{4} -xy^{5}\\\ &\quad\;-x^{5} +x^{4}y +x^{2}y^{3} +xy^{4}. \end{aligned}

Passo 4

Para o item (b),
f(x,y)=x y^{2}-x^{4}y^{3}, \quad g(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+x y}.
A soma é imediata:
(f+g)(x,y)=x y^{2}-x^{4}y^{3}+\sqrt{x^{2}+y^{2}+x y}.

Passo 5

Em (b), o produto é
\begin{aligned} (fg)(x,y) &=(x y^{2}-x^{4}y^{3})\;\sqrt{x^{2}+y^{2}+x y}\\\ &=x y^{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}+x y} \;-\;x^{4}y^{3}\sqrt{x^{2}+y^{2}+x y}\\\ &=x y^{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}+x y}\,\bigl(1 - x^{3}y\bigr). \end{aligned}

Resposta

(a)
\begin{aligned} f+g&=x^{2}+y^{2}-y^{3},\\\ fg&=-x^{6}+2x^{5}y+x^{4}y^{2}-x^{3}y^{3}-2x^{2}y^{4}-xy^{5}-x^{5}+x^{4}y+x^{2}y^{3}+xy^{4}. \end{aligned}
(b)
\begin{aligned} f+g&=x y^{2}-x^{4}y^{3}+\sqrt{x^{2}+y^{2}+x y},\\\ fg&=x y^{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}+x y}\,\bigl(1 - x^{3}y\bigr). \end{aligned}

Exercícios relacionados