1. Exercício 15.4, Questão 11: Calcule a integral \iint_{D} e^{-x^{2}-y^{2}} d A, onde D é a região delimitada pelo semicírculo x=\sqrt{4-y^{2}} e o eixo y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} e^{-x^{2}-y^{2}}\,dA
onde D é a região limitada pelo semicírculo x=\sqrt{4-y^{2}} e o eixo y.
O conteúdo da matéria é mudança para coordenadas polares em integrais duplas, pois a função e^{-x^{2}-y^{2}} e a região relacionada a um círculo sugerem essa abordagem.

Passo 2

Vamos descrever D em coordenadas cartesianas e depois transformá-la em polares.
Em retangulares, D\colon -2\le y\le 2 e 0\le x\le \sqrt{4-y^{2}}.
Em polares usamos
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta,
e a curva x^2+y^2=4 vira r=2. Como x\ge0, os ângulos vão de -\tfrac{\pi}{2} a \tfrac{\pi}{2}. Logo
0 \le r \le 2, \quad -\tfrac{\pi}{2} \le \theta \le \tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

Na mudança para polares, o elemento de área dA vira r\,dr\,d\theta e o integrando fica e^{-r^{2}}. Assim
\iint_{D} e^{-x^{2}-y^{2}}\,dA = \int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{r=0}^{2} e^{-r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculemos primeiro a integral em r:
\int_{0}^{2} r\,e^{-r^{2}}\,dr.
Fazendo u=-r^{2}, du=-2r\,dr, obtemos
\int_{0}^{2} r\,e^{-r^{2}}\,dr = -\tfrac12 \int_{u=0}^{u=-4} e^{u}\,du = -\tfrac12\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{-4} = \tfrac12\bigl(1 - e^{-4}\bigr).

Passo 5

Agora a integral em \theta é simples:
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d\theta = \pi.

Passo 6

Multiplicando os resultados de r e \theta, obtemos
\iint_{D} e^{-x^{2}-y^{2}}\,dA = \pi \times \tfrac12\bigl(1 - e^{-4}\bigr) = \tfrac{\pi}{2}\bigl(1 - e^{-4}\bigr).

Resposta

\boxed{\tfrac{\pi}{2}\,\bigl(1 - e^{-4}\bigr)}.

Exercícios relacionados