- Exercício 15.4, Questão 11: Calcule a integral
, onde
é a região delimitada pelo semicírculo
e o eixo y.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região limitada pelo semicírculo
e o eixo
.
O conteúdo da matéria é mudança para coordenadas polares em integrais duplas, pois a função e a região relacionada a um círculo sugerem essa abordagem.
O conteúdo da matéria é mudança para coordenadas polares em integrais duplas, pois a função
Passo 2
Vamos descrever
em coordenadas cartesianas e depois transformá-la em polares.
Em retangulares, e
.
Em polares usamos
Em retangulares,
Em polares usamos
e a curva
vira
. Como
, os ângulos vão de
a
. Logo
Passo 3
Na mudança para polares, o elemento de área
vira
e o integrando fica
. Assim
Passo 4
Calculemos primeiro a integral em
:
Fazendo
,
, obtemos
Passo 5
Agora a integral em
é simples:
Passo 6
Multiplicando os resultados de
e
, obtemos