1. Exercício 15.4, Questão 22: Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido delimitado pela esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 e fora do cilindro x^{2}+y^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que está dentro da esfera \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 e fora do cilindro \,x^{2}+y^{2}=4. Vamos usar coordenadas cilíndricas (polares em x,y mais z) para ajustar o volume em um triplo integral.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas definimos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
com jacobiano r. A região é
2 \le r \le 4,\quad 0 \le \theta \le 2\pi,\quad -\sqrt{16-r^{2}}\;\le z\le \sqrt{16-r^{2}}.
Logo o volume é
V \;=\;\int_{0}^{2\pi}\!\int_{r=2}^{4}\!\int_{z=-\sqrt{16-r^{2}}}^{\sqrt{16-r^{2}}}r\;dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Primeiro integramos em z:
\int_{-\sqrt{16-r^{2}}}^{\sqrt{16-r^{2}}}r\,dz = r\Bigl[2\sqrt{16-r^{2}}\Bigr] =2r\sqrt{16-r^{2}}.
Então
V = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{2}^{4}2r\sqrt{16-r^{2}}\;dr\,d\theta.

Passo 4

Para a integral em r usamos u=16-r^{2}, de modo que du=-2r\,dr. Assim
\int_{2}^{4}2r\sqrt{16-r^{2}}\,dr =\int_{r=2}^{4}-\sqrt{u}\,du =\int_{0}^{12}\sqrt{u}\,du =\frac{2}{3}u^{3/2}\Big|_{0}^{12} =16\sqrt{3}.
Portanto
V = \int_{0}^{2\pi}16\sqrt{3}\;d\theta.

Passo 5

Integramos em \theta:
V = 16\sqrt{3}\times\bigl[\,\theta\bigr]_{0}^{2\pi} =32\pi\sqrt{3}.

Resposta

O volume do sólido é 32\pi\sqrt{3}.

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