1. Exercício 15.3, Questão 27: Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=1 \mathrm{e} pelos planos y=z, x=0, e z=0 no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro x^2+y^2=1 e pelos planos x=0, z=0 e y=z. O que precisamos é montar um integral triplo sobre a região
\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le1,\;x\ge0,\;y\ge0,\;0\le z\le y\},
e avaliá-lo.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas, o volume é
V=\int_{\substack{0\le x\le1\\\ 0\le y\le\sqrt{1-x^2}}}\int_{z=0}^{z=y}dz\;dy\,dx.
Aqui o domínio de (x,y) é o quarto de disco x^2+y^2\le1, x\ge0, y\ge0.

Passo 3

Integramos primeiro em z:
\int_{z=0}^{z=y}dz = y.
Logo o triple integral reduz-se ao duplo
V = \int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} y\,dy\,dx.

Passo 4

Para simplificar, trocamos para coordenadas polares com
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta,
e \theta vai de 0 a \tfrac{\pi}{2}, r de 0 a 1. Então
V = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1} (r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta\;\int_{0}^{1}r^2\,dr.

Passo 5

Calculando as integrais separadas,
\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta =1, \qquad \int_{0}^{1}r^2\,dr = \frac{1}{3}.
Portanto
V = 1\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}.

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