Exercício 15. Resolva a inequação \log \left(x^{2}-2 x-2\right) \geqslant 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\log\bigl(x^{2} - 2x - 2\bigr)\ge 0,
que envolve logaritmo (supondo base maior que 1, por exemplo base 10 ou e). Para isso precisamos:
  1. Garantir o argumento do logaritmo positivo, ou seja x^{2} - 2x - 2 > 0.
  2. Usar a propriedade de logaritmo \log(y)\ge 0\iff y\ge 1 (quando a base é >1).

Passo 2

Determinamos o domínio pela condição
x^{2} - 2x - 2 > 0.
Resolvendo x^{2} - 2x - 2 = 0 obtemos
x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}.
Como é uma parábola voltada para cima, x^{2}-2x-2>0 para
x < 1 - \sqrt{3} \quad\text{ou}\quad x > 1 + \sqrt{3}.

Passo 3

Agora impomos \log\bigl(x^{2}-2x-2\bigr)\ge 0, o que dá
x^{2} - 2x - 2 \ge 1 \quad\iff\quad x^{2} - 2x - 3 \ge 0.
Resolvendo x^{2}-2x-3=0 vêm as raízes
x = -1 \quad\text{e}\quad x = 3,
e a parábola é positiva para
x \le -1 \quad\text{ou}\quad x \ge 3.

Passo 4

Fazemos a interseção entre o domínio x<1-\sqrt{3} ou x>1+\sqrt{3} e a solução de x^{2}-2x-2\ge1 x\le -1 ou x\ge3.
  • Na região à esquerda, x<1-\sqrt{3}\approx -0,732 intersecta x\le -1 dando x\le -1.
  • Na região à direita, x>1+\sqrt{3}\approx2,732 intersecta x\ge3 dando x\ge3.

Resposta

A solução da inequação é
(-\infty,\,-1] \,\cup\,[3,\,+\infty).

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