Exercício 14. Sejam b, y>0, com b \notin\{1 / 2,1\}. Demonstre que
\log _{2 b} y=\frac{\log _{b} y}{1+\log _{b} 2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados b>0 e y>0 com b\notin\{\tfrac12,1\}, vale a identidade
\log_{2b}y \;=\;\frac{\log_{b}y}{1+\log_{b}2}.
O conteúdo principal aqui é a fórmula de mudança de base de logaritmos, que diz que para quaisquer bases positivas diferentes de 1 e qualquer argumento positivo,
\log_{a}c \;=\;\frac{\log_{k}c}{\log_{k}a}.

Passo 2

Aplicamos a mudança de base usando como base de comparação b. Assim,
\log_{2b}y =\frac{\log_{b}y}{\log_{b}(2b)}.

Passo 3

Agora simplificamos o denominador usando a propriedade de soma de logaritmos:
\log_{b}(2b) =\log_{b}2+\log_{b}b =\log_{b}2+1,
pois \log_{b}b=1.

Passo 4

Substituindo esse resultado em \log_{2b}y, obtemos
\log_{2b}y =\frac{\log_{b}y}{\log_{b}(2b)} =\frac{\log_{b}y}{1+\log_{b}2},
que é exatamente o que se queria demonstrar.

Resposta

\log_{2b}y=\frac{\log_{b}y}{1+\log_{b}2}.

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