Exercício 5. Determine o menor número \theta>4 \pi tal que \cos \theta=0

Passo 1

O enunciado pede o menor \theta>4\pi tal que \cos\theta=0. O conteúdo aqui é identificar a solução geral da equação trigonométrica \cos\theta=0 e então escolher a menor que ultrapasse 4\pi.

Passo 2

Sabemos que \cos\theta=0 quando
\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi,
com n inteiro. Essa é a forma geral das raízes de \cos\theta=0.

Passo 3

Queremos a menor dessas soluções que seja maior que 4\pi. Logo, devemos ter
\frac{\pi}{2} + n\pi > 4\pi
n\pi > 4\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{2}
n > \frac{7}{2}=3,5
Então o menor inteiro n que satisfaz é n=4. Substituindo:
\theta = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{\pi + 8\pi}{2} = \frac{9\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{9\pi}{2}

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