Exercício 1.2.15. a)São quantos os números ímpares menores que 1000?
b) São quantos os números ímpares com três algarismos, que não possuem dígitos repetidos e que de trás para frente também são impares?

Passo 1

O enunciado tem duas questões: (a) contar quantos números ímpares são menores que 1000 e (b) contar quantos números ímpares de três algarismos sem dígitos repetidos têm o reverso também ímpar. O conteúdo envolve progressões aritméticas para (a) e princípio multiplicativo para contagem em (b).

Passo 2

Os números ímpares positivos menores que 1000 formam uma progressão aritmética com primeiro termo 1, último termo 999 e razão 2. O número de termos é
999 - 12 + 1 = 499 + 1 = 500
Logo existem 500 números ímpares menores que 1000.

Passo 3

Para (b), seja um número de três algarismos abc com aneq0. As condições são:
  1. abc ímpar implica c ímpar;
  2. o reverso cba ímpar implica a ímpar;
  3. os dígitos a, b e c são todos distintos.

Passo 4

Como a e c devem ser ímpares e aneq0, ambos são escolhidos no conjunto 1,3,5,7,9. Há 5 opções para a e, após essa escolha, 4 opções para c. Portanto, existem 5cdot4 maneiras de escolher o par (a,c).

Passo 5

Para cada par (a,c), o dígito b pode ser qualquer um dos 10 dígitos restantes, exceto a e c, totalizando 10-2=8 opções. Assim, pelo princípio multiplicativo, o total de números procurados é
5 cdot 4 cdot 8 = 160

Resposta

a) 500
b) 160

Exercícios relacionados