Exercício 1.2.15. a)São quantos os números ímpares menores que 1000?
b) São quantos os números ímpares com três algarismos, que não possuem dígitos repetidos e que de trás para frente também são impares?
b) São quantos os números ímpares com três algarismos, que não possuem dígitos repetidos e que de trás para frente também são impares?
Passo 1
O enunciado tem duas questões: (a) contar quantos números ímpares são menores que 1000 e (b) contar quantos números ímpares de três algarismos sem dígitos repetidos têm o reverso também ímpar. O conteúdo envolve progressões aritméticas para (a) e princípio multiplicativo para contagem em (b).
Passo 2
Os números ímpares positivos menores que 1000 formam uma progressão aritmética com primeiro termo
, último termo
e razão
. O número de termos é
Logo existem
números ímpares menores que
.
Passo 3
Para (b), seja um número de três algarismos
com
. As condições são:
-
ímpar implica ímpar; - o reverso
ímpar implica ímpar; - os dígitos
, e são todos distintos.
Passo 4
Como
e
devem ser ímpares e
, ambos são escolhidos no conjunto
. Há
opções para
e, após essa escolha,
opções para
. Portanto, existem
maneiras de escolher o par
.
Passo 5
Para cada par
, o dígito
pode ser qualquer um dos
dígitos restantes, exceto
e
, totalizando
opções. Assim, pelo princípio multiplicativo, o total de números procurados é
Resposta
a)
b)
b)