Exercício 2. Seja f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
(a) Mostre que \partial f / \partial x não está definida em (0,0).
(b) A função f é diferenciável em (0,0) ?

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}
e pede dois pontos:
(a) mostrar que \partial f/\partial x não existe em (0,0);
(b) verificar se f é diferenciável em (0,0).
Para isso vamos usar a definição de derivada parcial como limite de diferença quociente e a definição de diferencial (aproximação linear).

Passo 2

Para \partial f/\partial x em (0,0) usamos
f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{h^2+0^2}-0}{h} =\lim_{h\to0}\frac{|h|}{h}.
Se h>0 esse quociente vale +1, se h<0 vale -1. Como os limites pela direita e pela esquerda são diferentes, \partial f/\partial x não existe em (0,0).

Passo 3

Para a diferenciabilidade em (0,0) precisaríamos de um mapa linear
L(h,k)=a\,h+b\,k
tal que
\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k)-L(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=0.
Como não há derivadas parciais em (0,0), o único candidato é L\equiv0. Mas então
\frac{f(h,k)-0}{\sqrt{h^2+k^2}} =\frac{\sqrt{h^2+k^2}}{\sqrt{h^2+k^2}}=1
para todo (h,k)\neq(0,0), e esse quociente não tende a zero. Logo f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

(a) \partial f/\partial x não está definida em (0,0).
(b) f não é diferenciável em (0,0).

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