Exercício 2. Seja
.
(a) Mostre que
não está definida em
.
(b) A função
é diferenciável em
?
(a) Mostre que
(b) A função
Passo 1
O enunciado define
e pede dois pontos:
(a) mostrar que não existe em
;
(b) verificar se é diferenciável em
.
Para isso vamos usar a definição de derivada parcial como limite de diferença quociente e a definição de diferencial (aproximação linear).
(a) mostrar que
(b) verificar se
Para isso vamos usar a definição de derivada parcial como limite de diferença quociente e a definição de diferencial (aproximação linear).
Passo 2
Para
em
usamos
Se
esse quociente vale
, se
vale
. Como os limites pela direita e pela esquerda são diferentes,
não existe em
.
Passo 3
Para a diferenciabilidade em
precisaríamos de um mapa linear
tal que
Como não há derivadas parciais em
, o único candidato é
. Mas então
para todo
, e esse quociente não tende a zero. Logo
não é diferenciável em
.
Resposta
(a)
não está definida em
.
(b) não é diferenciável em
.
(b)