Exercício 15. Simplifique as expressões algébricas a seguir. Utilize fatorações, propriedades das frações e operações com polinômios sempre que possível. Considere que todos os denominadores são diferentes de zero:
\frac{x^{2}+6 x+8}{71-2 x^{2}} \cdot \frac{x^{2}-2 x-24}{x^{2}+6 x+16}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{x^{2}+6x+8}{71-2x^{2}}\cdot\frac{x^{2}-2x-24}{x^{2}+6x+16},
considerando que todos os denominadores são diferentes de zero. Informação dada importante:
  • A expressão inteira é um produto de duas frações algébricas.
  • Deve-se usar fatorações, propriedades de frações e operações com polinômios para simplificar.
  • Não pode haver divisão por zero: 71-2x^{2}\neq0 e x^{2}+6x+16\neq0 (essas condições ficam implícitas na resposta final).

Passo 2

Vamos fatorar o primeiro numerador \,x^{2}+6x+8\,. Para fatorar um trinomio quadrático x^{2}+bx+c procuramos dois números cuja soma seja b e cujo produto seja c.
Aqui b=6 e c=8. Dois números com essas propriedades são 2 e 4, pois 2+4=6 e 2\cdot4=8. Portanto
x^{2}+6x+8=(x+2)(x+4).
Explicação curta do método: ao escrever (x+p)(x+q)=x^{2}+(p+q)x+pq, igualamos p+q=6 e pq=8 e achamos p=2,q=4.

Passo 3

Agora fatoramos o segundo numerador \,x^{2}-2x-24\,. Novamente procuramos dois números cuja soma seja -2 e cujo produto seja -24. Esses números são -6 e 4, pois -6+4=-2 e -6\cdot4=-24. Assim
x^{2}-2x-24=(x-6)(x+4).

Passo 4

Examinemos os denominadores. Primeiro x^{2}+6x+16. Tentar fatorar por soma e produto: precisamos de dois números com soma 6 e produto 16. As possibilidades inteiras são 2 e 8 (produto 16 mas soma 10), 4 e 4 (produto 16 soma 8) — nenhuma soma dá 6. Outra abordagem é calcular o discriminante:
\Delta=6^{2}-4\cdot1\cdot16=36-64=-28.
Como \Delta<0, esse polinômio não tem raízes reais e, portanto, não é fatorável em fatores lineares com coeficientes reais. Podemos manter como está ou escrever completando o quadrado:
x^{2}+6x+16=(x+3)^{2}+7,
o que mostra claramente que não zera para x real.

Passo 5

O outro denominador é 71-2x^{2}. É conveniente escrever com o termo quadrático positivo por hábito:
71-2x^{2}=-(2x^{2}-71).
As raízes reais de 2x^{2}-71 seriam x=\pm\sqrt{\tfrac{71}{2}}, então 71-2x^{2} não se fatoriza em fatores lineares com coeficientes inteiros; fica melhor deixar na forma acima quando simplificarmos sinais. Importante: 71-2x^{2}\neq0 implica x\neq\pm\sqrt{\tfrac{71}{2}}.

Passo 6

Substituindo as fatorações que encontramos na expressão inicial:
\frac{(x+2)(x+4)}{71-2x^{2}}\cdot\frac{(x-6)(x+4)}{x^{2}+6x+16}.
Agrupando os fatores do numerador:
\frac{(x+2)(x-6)(x+4)(x+4)}{(71-2x^{2})(x^{2}+6x+16)}=\frac{(x+2)(x-6)(x+4)^{2}}{(71-2x^{2})(x^{2}+6x+16)}.
Agora procuramos cancelamentos: só podemos cancelar fatores que aparecem tanto no numerador quanto no denominador. Os fatores no denominador são 71-2x^{2} e x^{2}+6x+16; nenhum deles é igual a (x+2), (x-6) ou (x+4) (verificável avaliando zeros ou comparando coeficientes). Portanto não há fatores lineares comuns que permitam cancelamento. Só resta, opcionalmente, retirar um sinal negativo do denominador para deixar o coeficiente principal positivo:
\frac{(x+2)(x-6)(x+4)^{2}}{71-2x^{2}}\cdot\frac{1}{x^{2}+6x+16} = -\frac{(x+2)(x-6)(x+4)^{2}}{(2x^{2}-71)(x^{2}+6x+16)}.
A escolha entre escrever com 71-2x^{2} ou com -(2x^{2}-71) é só convenção; ambas são equivalentes, desde que se observe a condição de denominadores não nulos.

Passo 7

Resumo do que se fez e pequenas dicas para prova:
  • Sempre tente fatorar numeradores e denominadores em fatores lineares (quando possível) procurando pares que somam e multiplicam os coeficientes.
  • Calcule discriminante \Delta=b^{2}-4ac para checar se um quadrático tem raízes reais e pode ser fatorado em lineares reais.
  • Ao multiplicar frações, escreva todos os fatores e só cancele fatores idênticos (exatos) entre numerador e denominador.
  • Se não houver cancelamento, deixar o resultado na forma fatorada é a forma mais simplificada e informativa.

Resposta

-\dfrac{(x+2)(x-6)(x+4)^{2}}{(2x^{2}-71)(x^{2}+6x+16)}

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