Exercício 15. Simplifique as expressões algébricas a seguir. Utilize fatorações, propriedades das frações e operações com polinômios sempre que possível. Considere que todos os denominadores são diferentes de zero:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
considerando que todos os denominadores são diferentes de zero. Informação dada importante:
- A expressão inteira é um produto de duas frações algébricas.
- Deve-se usar fatorações, propriedades de frações e operações com polinômios para simplificar.
- Não pode haver divisão por zero:
e (essas condições ficam implícitas na resposta final).
Passo 2
Vamos fatorar o primeiro numerador
. Para fatorar um trinomio quadrático
procuramos dois números cuja soma seja
e cujo produto seja
.
Aqui e
. Dois números com essas propriedades são
e
, pois
e
. Portanto
Aqui
Explicação curta do método: ao escrever
, igualamos
e
e achamos
.
Passo 3
Agora fatoramos o segundo numerador
. Novamente procuramos dois números cuja soma seja
e cujo produto seja
. Esses números são
e
, pois
e
. Assim
Passo 4
Examinemos os denominadores. Primeiro
. Tentar fatorar por soma e produto: precisamos de dois números com soma
e produto
. As possibilidades inteiras são
e
(produto
mas soma
),
e
(produto
soma
) — nenhuma soma dá
. Outra abordagem é calcular o discriminante:
Como
, esse polinômio não tem raízes reais e, portanto, não é fatorável em fatores lineares com coeficientes reais. Podemos manter como está ou escrever completando o quadrado:
o que mostra claramente que não zera para
real.
Passo 5
O outro denominador é
. É conveniente escrever com o termo quadrático positivo por hábito:
As raízes reais de
seriam
, então
não se fatoriza em fatores lineares com coeficientes inteiros; fica melhor deixar na forma acima quando simplificarmos sinais. Importante:
implica
.
Passo 6
Substituindo as fatorações que encontramos na expressão inicial:
Agrupando os fatores do numerador:
Agora procuramos cancelamentos: só podemos cancelar fatores que aparecem tanto no numerador quanto no denominador. Os fatores no denominador são
e
; nenhum deles é igual a
,
ou
(verificável avaliando zeros ou comparando coeficientes). Portanto não há fatores lineares comuns que permitam cancelamento. Só resta, opcionalmente, retirar um sinal negativo do denominador para deixar o coeficiente principal positivo:
A escolha entre escrever com
ou com
é só convenção; ambas são equivalentes, desde que se observe a condição de denominadores não nulos.
Passo 7
Resumo do que se fez e pequenas dicas para prova:
- Sempre tente fatorar numeradores e denominadores em fatores lineares (quando possível) procurando pares que somam e multiplicam os coeficientes.
- Calcule discriminante
para checar se um quadrático tem raízes reais e pode ser fatorado em lineares reais. - Ao multiplicar frações, escreva todos os fatores e só cancele fatores idênticos (exatos) entre numerador e denominador.
- Se não houver cancelamento, deixar o resultado na forma fatorada é a forma mais simplificada e informativa.