Exercício 15. Simplifique as expressões algébricas a seguir. Utilize fatorações, propriedades das frações e operações com polinômios sempre que possível. Considere que todos os denominadores são diferentes de zero:
\frac{-1}{x-1}+\frac{x}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão algébrica abaixo, considerando que todos os denominadores são diferentes de zero:
\frac{-1}{x-1}+\frac{x}{x-1}.
Informações dadas:
  • Há duas frações que têm o mesmo denominador x-1.
  • Devemos assumir que x-1\neq0, isto é, x\neq1.

Passo 2

Regra básica (mini-aula): quando duas frações têm o mesmo denominador, somam-se apenas os numeradores e mantém-se o denominador comum. Em forma genérica:
\frac{A}{D}+\frac{B}{D}=\frac{A+B}{D},
onde A,B,D são expressões e D\neq0.
Aplicando essa regra ao nosso caso, somamos os numeradores -1 e x sobre o denominador x-1. Escrevendo em forma de bloco:
\frac{-1}{x-1}+\frac{x}{x-1}=\frac{-1+x}{x-1}.

Passo 3

Reorganizando o numerador para deixá-lo mais claro: a soma -1+x pode ser escrita como x-1 (a ordem da soma não altera o valor). Então:
\frac{-1+x}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}.

Passo 4

Agora aplicamos a ideia de cancelamento de fatores iguais no numerador e no denominador (mini-aula): se uma fração tem fator comum não nulo no numerador e no denominador, pode-se simplificar dividindo ambos por esse fator. Aqui o numerador é exatamente igual ao denominador x-1, e lembrando que x-1\neq0, podemos cancelar:
\frac{x-1}{x-1}=1.
Portanto a expressão simplificada é 1, válida para x\neq1.

Resposta

1,\\ x\neq1

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