Exercício 15. Simplifique as expressões algébricas a seguir. Utilize fatorações, propriedades das frações e operações com polinômios sempre que possível. Considere que todos os denominadores são diferentes de zero:
Passo 1
O enunciado fornece a expressão
e pede para simplificá‑la usando fatorações, propriedades de frações e operações com polinômios. Foi dito que todos os denominadores são diferentes de zero (ou seja,
nos valores que considerarmos).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Ambas as frações têm o mesmo denominador
. - Devemos somar as frações e simplificar o resultado sempre que possível.
- Há restrição implícita:
.
Passo 2
Primeiro vamos fatorar o denominador comum para ver fatores que podem ser cancelados depois. Observe que
Explicação didática: para fatorar um polinômio, procure um fator comum em todos os termos. Aqui
e
têm o fator comum
, daí
. Isso é útil porque mostra as raízes (valores que zeram o denominador):
e
.
Passo 3
Como os denominadores das duas frações são iguais, podemos somá‑las juntando numeradores sobre o mesmo denominador:
Passo a passo: quando duas frações têm mesmo denominador
, então
. Aqui
e
.
Passo 4
Somando os numeradores:
Portanto a soma fica
Passo 5
Agora fatoramos o numerador
:
Substituindo o numerador e o denominador fatorado do Passo 2, obtemos
Passo 6
Podemos cancelar o fator comum
no numerador e no denominador, desde que esse fator não seja zero. O enunciado já nos pediu para considerar denominadores diferentes de zero; portanto devemos manter a restrição
(além de
, ver próxima etapa). Após o cancelamento ficamos com
Explicação didática: cancelar um fator comum significa dividir numerador e denominador por esse fator — isso é válido apenas se o fator for diferente de zero, caso contrário a expressão original não estaria definida.
Passo 7
Simplificando a constante
:
Portanto a forma simplificada da expressão é
, com as restrições de domínio que vêm dos zeros do denominador original.
Passo 8
Determinar as restrições de
. Do denominador fatorado
segue que
Mesmo que a expressão simplificada seja
, é importante lembrar que a equivalência só vale para
que não anulam nenhum denominador inicial.