Exercício 15. Simplifique as expressões algébricas a seguir. Utilize fatorações, propriedades das frações e operações com polinômios sempre que possível. Considere que todos os denominadores são diferentes de zero:
\frac{6 x+13}{3 x^{2}+15 x}+\frac{17}{3 x^{2}+15 x}

Passo 1

O enunciado fornece a expressão
\frac{6 x+13}{3 x^{2}+15 x}+\frac{17}{3 x^{2}+15 x}
e pede para simplificá‑la usando fatorações, propriedades de frações e operações com polinômios. Foi dito que todos os denominadores são diferentes de zero (ou seja, 3x^{2}+15x\neq0 nos valores que considerarmos).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Ambas as frações têm o mesmo denominador 3x^{2}+15x.
  • Devemos somar as frações e simplificar o resultado sempre que possível.
  • Há restrição implícita: 3x^{2}+15x\neq0.

Passo 2

Primeiro vamos fatorar o denominador comum para ver fatores que podem ser cancelados depois. Observe que
3x^{2}+15x=3x(x+5).
Explicação didática: para fatorar um polinômio, procure um fator comum em todos os termos. Aqui 3x^{2} e 15x têm o fator comum 3x, daí 3x^{2}+15x=3x(x+5). Isso é útil porque mostra as raízes (valores que zeram o denominador): x=0 e x=-5.

Passo 3

Como os denominadores das duas frações são iguais, podemos somá‑las juntando numeradores sobre o mesmo denominador:
\frac{6 x+13}{3 x^{2}+15 x}+\frac{17}{3 x^{2}+15 x} = \frac{(6x+13)+17}{3x^{2}+15x}.
Passo a passo: quando duas frações têm mesmo denominador D, então \dfrac{A}{D}+\dfrac{B}{D}=\dfrac{A+B}{D}. Aqui A=6x+13 e B=17.

Passo 4

Somando os numeradores:
(6x+13)+17 = 6x+(13+17)=6x+30.
Portanto a soma fica
\frac{6x+30}{3x^{2}+15x}.

Passo 5

Agora fatoramos o numerador 6x+30:
6x+30 = 6(x+5).
Substituindo o numerador e o denominador fatorado do Passo 2, obtemos
\frac{6(x+5)}{3x(x+5)}.

Passo 6

Podemos cancelar o fator comum (x+5) no numerador e no denominador, desde que esse fator não seja zero. O enunciado já nos pediu para considerar denominadores diferentes de zero; portanto devemos manter a restrição x\neq -5 (além de x\neq0, ver próxima etapa). Após o cancelamento ficamos com
\frac{6}{3x}.
Explicação didática: cancelar um fator comum significa dividir numerador e denominador por esse fator — isso é válido apenas se o fator for diferente de zero, caso contrário a expressão original não estaria definida.

Passo 7

Simplificando a constante 6/3:
\frac{6}{3x}=\frac{2}{x}.
Portanto a forma simplificada da expressão é \dfrac{2}{x}, com as restrições de domínio que vêm dos zeros do denominador original.

Passo 8

Determinar as restrições de x. Do denominador fatorado 3x(x+5)\neq0 segue que
x\neq 0\quad\text{e}\quad x\neq -5.
Mesmo que a expressão simplificada seja \dfrac{2}{x}, é importante lembrar que a equivalência só vale para x que não anulam nenhum denominador inicial.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{x},\; x\neq 0,\; x\neq -5

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