Exercício 15 Suponha que X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} sejam réplicas i.i.d de uma variável X com distribuição uniforme sobre o conjunto \{1,2,3,4,5,6\}. Defina a média amostral como
\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i} .
Com respeito a este problema, responda às seguintes perguntas:
(a) Determine \mu=E[X] e \sigma^{2}=\operatorname{Var}[X] as médias e variâncias populacionais de X;
(b) Determine a média e a variância de \bar{X};
(c) Usando a Desigualdade de Tchebychev, determine o menor valor de n para que \bar{X} difira de \mu por menos de 0,1 com probabilidade de pelo menos 90 \%, em outras palavras, devemos determinar o tamanho da amostra n para que a probabilidade de
\mu \in(\bar{X}-0,1, \bar{X}+0,1)
seja de pelo menos 95 \%.
(d) Use uma aproximação Normal para responder a pergunta anterior. Os valores obtidos são muito diferentes?

Passo 1

O enunciado considera X_{1},\dots,X_{n} i.i.d.\ uniformes no conjunto \{1,2,3,4,5,6\}. Define-se a média amostral
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.
Vamos precisar de: cálculo de esperança e variância de X, fórmula de esperança e variância de médias amostrais i.i.d., Desigualdade de Tchebychev para obter n que garanta
P\bigl(|\bar X-\mu|<0,1\bigr)\ge0,9,
e, por fim, usar a aproximação normal (TCL) para a mesma meta.

Passo 2

Para X uniforme em \{1,2,3,4,5,6\}, a esperança é
\mu = E[X] = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5.
A variância usa
\operatorname{Var}[X] = E[X^2] - (E[X])^2,
onde
E[X^2] = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{91}{6},
logo
\sigma^2=\operatorname{Var}[X] = \frac{91}{6} - \bigl(3{,}5\bigr)^2 = \frac{91}{6} - 12{,}25 = \frac{91 - 73{,}5}{6} = \frac{17{,}5}{6} = \frac{35}{12}.

Passo 3

Para médias de amostras i.i.d.\ vale
E[\bar X] = \mu = 3{,}5, \qquad \operatorname{Var}[\bar X] = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{35}{12\,n}.

Passo 4

Pela Desigualdade de Tchebychev, para \varepsilon=0{,}1:
P\bigl(|\bar X - \mu|\ge \varepsilon\bigr)\le \frac{\operatorname{Var}[\bar X]}{\varepsilon^2} = \frac{\tfrac{35}{12\,n}}{(0{,}1)^2} = \frac{35}{12\,n\cdot 0{,}01} = \frac{35}{0{,}12\,n}.
Queremos
P\bigl(|\bar X-\mu|<0,1\bigr)\ge 0,9 \;\Longleftrightarrow\; 1 - \frac{35}{0{,}12\,n} \ge 0,9 \;\Longrightarrow\; \frac{35}{0{,}12\,n} \le 0,1 \;\Longrightarrow\; n \ge \frac{35}{0{,}12 \times 0,1} = \frac{35}{0{,}012} \approx 2916{,}7.
Portanto, o menor n inteiro é n=2917.

Passo 5

Pela aproximação normal (TCL), \bar X\approx N\bigl(\mu,\sigma^2/n\bigr). Definindo
Z = \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1),
queremos
P\bigl(|\bar X - \mu|<0,1\bigr) = P\Bigl(|Z| < \frac{0,1}{\sigma/\sqrt{n}}\Bigr)\ge 0,9.
Para P(|Z|<z)=0,9 usa-se z=1{,}645. Então
\frac{0,1}{\sigma/\sqrt{n}} = 1{,}645 \;\Longrightarrow\; n = \biggl(\frac{1{,}645\,\sigma}{0,1}\biggr)^{2} = \biggl(\frac{1{,}645\sqrt{35/12}}{0,1}\biggr)^{2} \approx 789{,}2.
Assim, n\approx 790.

Resposta

(a) \displaystyle \mu=3,5,\quad \sigma^{2}=\tfrac{35}{12}.
(b) \displaystyle E[\bar X]=3,5,\quad \operatorname{Var}[\bar X]=\tfrac{35}{12\,n}.
(c) Pela Desigualdade de Tchebychev, n\ge 2917.
(d) Pela aproximação normal, n\approx 790. Os dois resultados são bem diferentes: Chebyshev dá uma amostra muito maior.

Exercícios relacionados