Exercício 15 Suponha que
sejam réplicas i.i.d de uma variável
com distribuição uniforme sobre o conjunto
. Defina a média amostral como
Com respeito a este problema, responda às seguintes perguntas:
(a) Determine
e
as médias e variâncias populacionais de
;
(b) Determine a média e a variância de
;
(c) Usando a Desigualdade de Tchebychev, determine o menor valor de n para que
difira de
por menos de 0,1 com probabilidade de pelo menos
, em outras palavras, devemos determinar o tamanho da amostra
para que a probabilidade de
seja de pelo menos
.
(d) Use uma aproximação Normal para responder a pergunta anterior. Os valores obtidos são muito diferentes?
(a) Determine
(b) Determine a média e a variância de
(c) Usando a Desigualdade de Tchebychev, determine o menor valor de n para que
(d) Use uma aproximação Normal para responder a pergunta anterior. Os valores obtidos são muito diferentes?
Passo 1
O enunciado considera
i.i.d.\ uniformes no conjunto
. Define-se a média amostral
Vamos precisar de: cálculo de esperança e variância de
, fórmula de esperança e variância de médias amostrais i.i.d., Desigualdade de Tchebychev para obter
que garanta
e, por fim, usar a aproximação normal (TCL) para a mesma meta.
Passo 2
Para
uniforme em
, a esperança é
A variância usa
onde
logo
Passo 3
Para médias de amostras i.i.d.\ vale
Passo 4
Pela Desigualdade de Tchebychev, para
:
Queremos
Portanto, o menor
inteiro é
.
Passo 5
Pela aproximação normal (TCL),
. Definindo
queremos
Para
usa-se
. Então
Assim,
.
Resposta
(a)
(b)
(c) Pela Desigualdade de Tchebychev, .
(d) Pela aproximação normal, . Os dois resultados são bem diferentes: Chebyshev dá uma amostra muito maior.
(b)
(c) Pela Desigualdade de Tchebychev,
(d) Pela aproximação normal,