Exercício 15 Suponha que
sejam réplicas i.i.d de uma variável
com distribuição uniforme sobre o conjunto
. Defina a média amostral como
Com respeito a este problema, responda às seguintes perguntas:
(a) Determine
e
as médias e variâncias populacionais de
;
(b) Determine a média e a variância de
;
(c) Usando a Desigualdade de Tchebychev, determine o menor valor de n para que
difira de
por menos de 0,1 com probabilidade de pelo menos
, em outras palavras, devemos determinar o tamanho da amostra
para que a probabilidade de
seja de pelo menos
.
(d) Use uma aproximação Normal para responder a pergunta anterior. Os valores obtidos são muito diferentes?
(a) Determine
(b) Determine a média e a variância de
(c) Usando a Desigualdade de Tchebychev, determine o menor valor de n para que
(d) Use uma aproximação Normal para responder a pergunta anterior. Os valores obtidos são muito diferentes?
Passo 1
O enunciado trata de
réplicas i.i.d. de uma variável
que vale os inteiros de 1 a 6 com mesma probabilidade. Definimos a média amostral
Precisamos (a) calcular
e
; (b) obter
e
; (c) usar a desigualdade de Tchebychev para achar o menor
tal que
(d) usar aproximação normal (CLT) para responder (c) e comparar os resultados.
Passo 2
Para
uniforme discreta em
sabemos que
e que, para um uniforme discreto de
a
,
Aqui
,
então
Passo 3
Como
é média de
i.i.d., temos
e
Passo 4
Pela desigualdade de Tchebychev:
Queremos isso
, logo
Portanto o menor
inteiro é
Passo 5
Pela aproximação normal (CLT), para
grande
então
onde
e o quantil
. Assim
Logo o menor
inteiro pela CLT é
Resposta
(a)
,
.
(b) ,
.
(c) Pela desigualdade de Tchebychev: .
(d) Pela aproximação normal: . Os valores diferem bastante, pois a desigualdade de Tchebychev é mais conservadora.
(b)
(c) Pela desigualdade de Tchebychev:
(d) Pela aproximação normal: