Exercício 15 Suponha que X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} sejam réplicas i.i.d de uma variável X com distribuição uniforme sobre o conjunto \{1,2,3,4,5,6\}. Defina a média amostral como
\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i} .
Com respeito a este problema, responda às seguintes perguntas:
(a) Determine \mu=E[X] e \sigma^{2}=\operatorname{Var}[X] as médias e variâncias populacionais de X;
(b) Determine a média e a variância de \bar{X};
(c) Usando a Desigualdade de Tchebychev, determine o menor valor de n para que \bar{X} difira de \mu por menos de 0,1 com probabilidade de pelo menos 90 \%, em outras palavras, devemos determinar o tamanho da amostra n para que a probabilidade de
\mu \in(\bar{X}-0,1, \bar{X}+0,1)
seja de pelo menos 95 \%.
(d) Use uma aproximação Normal para responder a pergunta anterior. Os valores obtidos são muito diferentes?

Passo 1

O enunciado trata de n réplicas i.i.d. de uma variável X que vale os inteiros de 1 a 6 com mesma probabilidade. Definimos a média amostral
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}.
Precisamos (a) calcular \mu=E[X] e \sigma^2=\Var[X]; (b) obter E[\bar X] e \Var[\bar X]; (c) usar a desigualdade de Tchebychev para achar o menor n tal que
P\bigl(|\bar X-\mu|<0{,}1\bigr)\ge0{,}95;
(d) usar aproximação normal (CLT) para responder (c) e comparar os resultados.

Passo 2

Para X\sim uniforme discreta em \{1,2,3,4,5,6\} sabemos que
\mu=E[X]=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3{,}5
e que, para um uniforme discreto de a a b,
\Var[X]=\frac{(b-a+1)^2-1}{12}.
Aqui a=1, b=6 então
\sigma^2=\Var[X]=\frac{6^2-1}{12}=\frac{35}{12}\approx2{,}9167.

Passo 3

Como \bar X é média de n i.i.d., temos
E[\bar X]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE[X_i]=\mu=3{,}5
e
\Var[\bar X]=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n\Var[X_i] =\frac{n\,\sigma^2}{n^2}=\frac{\sigma^2}{n} =\frac{35}{12\,n}.

Passo 4

Pela desigualdade de Tchebychev:
P\bigl(|\bar X-\mu|<\varepsilon\bigr)\ge1-\frac{\Var[\bar X]}{\varepsilon^2} =1-\frac{\tfrac{35}{12\,n}}{\,(0{,}1)^2\,}.
Queremos isso \ge0{,}95, logo
1-\frac{\tfrac{35}{12\,n}}{0{,}01}\ge0{,}95 \quad\Longrightarrow\quad \frac{35}{12\,n\cdot0{,}01}\le0{,}05 \quad\Longrightarrow\quad n\ge\frac{35}{12\cdot0{,}01\cdot0{,}05} =\frac{35}{0{,}006} \approx5833{,}33.
Portanto o menor n inteiro é
n=5834.

Passo 5

Pela aproximação normal (CLT), para n grande
\bar X\approx N\Bigl(\mu,\;\frac{\sigma^2}{n}\Bigr),
então
P\bigl(|\bar X-\mu|<0{,}1\bigr) =P\Bigl(|Z|<\frac{0{,}1}{\sigma/\sqrt{n}}\Bigr) \approx0{,}95
onde Z\sim N(0,1) e o quantil z_{0{,}975}=1{,}96. Assim
\frac{0{,}1}{\sigma/\sqrt{n}}=1{,}96 \quad\Longrightarrow\quad n=\Bigl(\frac{1{,}96\,\sigma}{0{,}1}\Bigr)^2 =\Bigl(\frac{1{,}96\sqrt{35/12}}{0{,}1}\Bigr)^2 \approx1120{,}2.
Logo o menor n inteiro pela CLT é
n=1121.

Resposta

(a) \mu=3{,}5, \sigma^2=\tfrac{35}{12}.
(b) E[\bar X]=3{,}5, \Var[\bar X]=\tfrac{35}{12\,n}.
(c) Pela desigualdade de Tchebychev: n\ge5834.
(d) Pela aproximação normal: n\ge1121. Os valores diferem bastante, pois a desigualdade de Tchebychev é mais conservadora.

Exercícios relacionados