Exercício 14 Em uma linha de produção, peças são produzidas e a qualidade de cada peça é avaliada. Suponha que uma amostra de n peças seja produzida, sendo que a cada peça i é associada uma variável
que assume o valor 1 caso a peça seja defeituosa e assume 0 caso contrário. Suponha que as ocorrências de defeito nas peças sejam eventos independentes e que a probabilidade de defeito seja
.
(a) Determine a média e a variância de
para
;
(b) A proporção de peças defeituosas na amostra é dada por
Determine o valor médio e a variância de
usando as propriedades da esperança e da variância.
(c) Use o Teorema Central do Limite para obter uma aproximação Normal para
, isto é, quais os valores de
e
da distribuição
devem ser usados para aproximar a distribuição de
?
(d) Considerando
e usando a aproximação Normal obtida acima, calcule a probabilidade de observarmos uma amostra com proporção de peças defeituosas maior do que 0,2 (20%);
(e) Note que a proporção de defeitos
pode ser escrita como
sendo que a função de probabilidade de
é dada por
A partir desta informação, calcule de maneira exata a probabilidade do evento dado no item anterior. Use uma planilha eletrônica ou software para efetuar este cálculo.
(a) Determine a média e a variância de
(b) A proporção de peças defeituosas na amostra é dada por
(c) Use o Teorema Central do Limite para obter uma aproximação Normal para
(d) Considerando
(e) Note que a proporção de defeitos
Passo 1
O enunciado trata de variáveis indicadoras
de defeito em peças, cada
é Bernoulli com parâmetro
, independentes, e temos
. O conteúdo é expectativa e variância de variáveis de Bernoulli e soma delas, e aplicação do Teorema Central do Limite para aproximar por Normal.
Passo 2
Para cada
sabemos que
Passo 3
Como
e os
são independentes, pelas propriedades de esperança e variância temos
Passo 4
Pelo Teorema Central do Limite, para
grande
é aproximadamente Normal com média e variância iguais às encontradas:
Passo 5
Agora em
e
, temos
e
Queremos
onde
.
Passo 6
Exatamente,
com
. Assim
Calculando (por planilha ou software) esse somatório, obtém-se aproximadamente
Resposta
(a)
,
.
(b) ,
.
(c) .
(d) Com :
.
(e) Exato:
(b)
(c)
(d) Com
(e) Exato: