Exercício 14 Em uma linha de produção, peças são produzidas e a qualidade de cada peça é avaliada. Suponha que uma amostra de n peças seja produzida, sendo que a cada peça i é associada uma variável X_{i} que assume o valor 1 caso a peça seja defeituosa e assume 0 caso contrário. Suponha que as ocorrências de defeito nas peças sejam eventos independentes e que a probabilidade de defeito seja p=0,1(10 \%).
(a) Determine a média e a variância de X_{i} para i=1, \ldots, n;
(b) A proporção de peças defeituosas na amostra é dada por
\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}
Determine o valor médio e a variância de \bar{X} usando as propriedades da esperança e da variância.
(c) Use o Teorema Central do Limite para obter uma aproximação Normal para \bar{X}, isto é, quais os valores de \mu e \sigma^{2} da distribuição N\left(\mu, \sigma^{2}\right) devem ser usados para aproximar a distribuição de \bar{X} ?
(d) Considerando n=25 e usando a aproximação Normal obtida acima, calcule a probabilidade de observarmos uma amostra com proporção de peças defeituosas maior do que 0,2 (20%);
(e) Note que a proporção de defeitos \bar{X} pode ser escrita como
\bar{X}=\frac{S}{n}, \quad S \sim \operatorname{Binomial}(n, p),
sendo que a função de probabilidade de X é dada por
p_{S}(k)=P(S=k)=\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}, \quad k=0,1,2, \ldots, n .
A partir desta informação, calcule de maneira exata a probabilidade do evento dado no item anterior. Use uma planilha eletrônica ou software para efetuar este cálculo.

Passo 1

O enunciado trata de variáveis indicadoras X_i de defeito em peças, cada X_i é Bernoulli com parâmetro p=0,1, independentes, e temos \bar X=(1/n)\sum_{i=1}^nX_i. O conteúdo é expectativa e variância de variáveis de Bernoulli e soma delas, e aplicação do Teorema Central do Limite para aproximar por Normal.

Passo 2

Para cada X_i\sim\mathrm{Bernoulli}(p) sabemos que
E(X_i)=p,\qquad \mathrm{Var}(X_i)=p(1-p).

Passo 3

Como \bar X=\tfrac1n\sum_{i=1}^nX_i e os X_i são independentes, pelas propriedades de esperança e variância temos
E(\bar X)=\frac1n\sum_{i=1}^nE(X_i)=\frac np\;=\;p,
\mathrm{Var}(\bar X)=\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n\mathrm{Var}(X_i) =\frac{n\,p(1-p)}{n^2} =\frac{p(1-p)}{n}.

Passo 4

Pelo Teorema Central do Limite, para n grande \bar X é aproximadamente Normal com média e variância iguais às encontradas:
\bar X\;\approx\;N\!\Bigl(\mu=p,\;\sigma^2=\tfrac{p(1-p)}{n}\Bigr).

Passo 5

Agora em n=25 e p=0,1, temos \mu=0,1 e
\sigma=\sqrt{\frac{0,1\cdot0,9}{25}}=\sqrt{0,0036}=0,06.
Queremos
P\bigl(\bar X>0,2\bigr) \approx P\!\Bigl(Z>\frac{0,2-0,1}{0,06}\Bigr) = P\bigl(Z>1,6667\bigr) \approx 0,0478,
onde Z\sim N(0,1).

Passo 6

Exatamente, \bar X=S/n com S\sim\mathrm{Binomial}(25,0,1). Assim
P(\bar X>0,2)=P\bigl(S>5\bigr) =1-\sum_{k=0}^{5}\binom{25}{k}(0,1)^k(0,9)^{25-k}.
Calculando (por planilha ou software) esse somatório, obtém-se aproximadamente
1-0,9657=0,0343.

Resposta

(a) E(X_i)=p=0,1, \mathrm{Var}(X_i)=p(1-p)=0,1\cdot0,9=0,09.
(b) E(\bar X)=p=0,1, \mathrm{Var}(\bar X)=\tfrac{p(1-p)}{n}=\tfrac{0,09}{n}.
(c) \bar X\approx N\!\bigl(p,\;p(1-p)/n\bigr).
(d) Com n=25: P(\bar X>0,2)\approx P\bigl(Z>1,6667\bigr)\approx0,0478.
(e) Exato:
P(\bar X>0,2) =1-\sum_{k=0}^{5}\binom{25}{k}(0,1)^k(0,9)^{25-k} \approx 0,0343.

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