Exercício 15. Qual o valor de \sqrt{(61)_{8}} ?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é o valor de \sqrt{(61)_8}.\n
Informações dadas:
  • (61)_8 é um número escrito na base 8 (octal), com dois algarismos: 6 e 1.
  • Precisamos calcular a raiz quadrada desse número.
    Não vou resolver ainda; só identifiquei o que é pedido e os dados disponíveis.

Passo 2

Entender o que significa converter um número da base 8 para a base 10 (decimal).\n
Regra (posicional): se tivermos um número com algarismos a_n a_{n-1}\dots a_1 a_0 na base 8, seu valor em decimal é
\sum_{i=0}^{n} a_i\cdot 8^{i}.
Aqui cada a_i é um dígito (inteiro entre 0 e 7), e 8^{i} é a potência de 8 correspondente à posição do dígito.

Passo 3

Aplicar a regra ao número (61)_8.\n
Os algarismos são 6 (posição de peso 8^1) e 1 (posição de peso 8^0). Logo,
(61)_8 = 6\cdot 8^{1} + 1\cdot 8^{0}.
Calcule cada termo:
6\cdot 8^{1} = 6\cdot 8 = 48,
1\cdot 8^{0} = 1\cdot 1 = 1.
Somando,
(61)_8 = 48 + 1 = 49
em decimal.

Passo 4

Calcular a raiz quadrada em decimal.\n
Definição: \sqrt{N} é o número que ao quadrado dá N. Como encontramos (61)_8 = 49, procuramos \sqrt{49}. Sabemos que
7\cdot 7 = 49,
portanto
\sqrt{49} = 7.

Passo 5

Converter o resultado 7 (decimal) de volta para a base 8, se quisermos a resposta na mesma notação do enunciado.\n
Como 7<8, o número 7 em decimal é representado por um único dígito 7 na base 8. Assim,
7_{10} = (7)_8.

Passo 6

Fazer uma checagem rápida multiplicando em base decimal e mostrando que (7)_8^2 = (61)_8.\n
Em decimal: 7\cdot 7 = 49. Agora converter 49 para base 8 por divisão sucessiva:
49 \div 8 = 6 \text{ quociente},\quad \text{resto }1.
Logo a representação em base 8 é o dígito mais alto 6 seguido do resto 1, ou seja (61)_8. Isso confirma que (7)_8^2=(61)_8.

Resposta

(7)_8

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