Exercício 14. A soma do menor número de três algarismos com o maior número de dois algarismos que estão em uma base b é k. Determine o valor de b sabendo que, no sistema de numeração decimal, k vale 31.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Informação: Estamos em uma base de numeração desconhecida b.
  • Informação: A soma do menor número de três algarismos nessa base com o maior número de dois algarismos nessa base vale k.
  • Informação adicional: No sistema decimal, o valor de k é 31.
  • Pergunta: Determinar o valor de b.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como funciona a escrita de números em uma base b.
  • Em uma base b, os algarismos válidos são 0,1,2,\dots,b-1. Isso significa que o maior algarismo possível é b-1.
  • Um número escrito com algarismos a_n a_{n-1}\dots a_1 a_0 em base b vale, em decimal,
a_n b^n + a_{n-1} b^{n-1} + \dots + a_1 b + a_0.
Expliquei isso porque vamos converter números escritos "em base b" para o valor decimal.

Passo 3

Agora identifiquemos o menor número de três algarismos na base b.
  • Um número de três algarismos tem forma xyz_b com x\neq0. O menor x possível (não nulo) é 1. Os outros algarismos podem ser 0.
  • Portanto, o menor número de três algarismos em base b é exatamente 100_b. (Aqui peguei a definição de três algarismos: primeiro algarismo não pode ser zero.)

Passo 4

Convertemos 100_b para decimal usando a regra de posição:
100_b = 1\cdot b^2 + 0\cdot b + 0 = b^2.
Expliquei: o dígito mais à esquerda vale 1 multiplicado por b^2.

Passo 5

Agora o maior número de dois algarismos na base b.
  • Um número de dois algarismos tem forma uv_b com u\neq0. Para ser o maior possível, escolhemos u=b-1 e v=b-1.
  • Portanto o maior número de dois algarismos em base b é (b-1)(b-1)_b, ou escrito de forma usual, (b-1)(b-1) como dígitos: isto é (b-1)(b) + (b-1) em decimal.

Passo 6

Convertemos esse maior dois-dígitos para decimal e simplificamos:
\text{o maior dois-dígitos} = (b-1)\cdot b + (b-1) = (b-1)(b+1) = b^2 - 1.í
Expliquei: multipliquei e fatorizei para ficar simples.

Passo 7

Agora somamos os dois valores (menor três-dígitos e maior dois-dígitos) e igualamos a k:
b^2 + (b^2 - 1) = 2b^2 - 1.
Pelo enunciado, em decimal essa soma vale k e foi dado que k=31. Logo formamos a equação
2b^2 - 1 = 31.

Passo 8

Resolvemos a equação passo a passo:
2b^2 - 1 = 31
2b^2 = 32
b^2 = 16
b = \pm 4.
Como b é uma base de numeração, deve ser um inteiro positivo maior ou igual a 2. Assim descartamos b=-4 e ficamos com
b = 4.

Passo 9

Vamos checar rapidamente para ter certeza (sempre bom conferir numa prova): em base 4
  • O menor número de três algarismos é 100_4 = 4^2 = 16.
  • O maior número de dois algarismos é 33_4 = 3\cdot4 + 3 = 15.
    A soma é 16+15=31, que coincide com o k dado. Tudo bate.

Resposta

4

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