Exercício 14. A soma do menor número de três algarismos com o maior número de dois algarismos que estão em uma base
é
. Determine o valor de
sabendo que, no sistema de numeração decimal,
vale 31.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
- Informação: Estamos em uma base de numeração desconhecida
. - Informação: A soma do menor número de três algarismos nessa base com o maior número de dois algarismos nessa base vale
. - Informação adicional: No sistema decimal, o valor de
é . - Pergunta: Determinar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como funciona a escrita de números em uma base
.
- Em uma base
, os algarismos válidos são . Isso significa que o maior algarismo possível é . - Um número escrito com algarismos
em base vale, em decimal,
Expliquei isso porque vamos converter números escritos "em base
" para o valor decimal.
Passo 3
Agora identifiquemos o menor número de três algarismos na base
.
- Um número de três algarismos tem forma
com . O menor possível (não nulo) é . Os outros algarismos podem ser . - Portanto, o menor número de três algarismos em base
é exatamente . (Aqui peguei a definição de três algarismos: primeiro algarismo não pode ser zero.)
Passo 4
Convertemos
para decimal usando a regra de posição:
Expliquei: o dígito mais à esquerda vale
multiplicado por
.
Passo 5
Agora o maior número de dois algarismos na base
.
- Um número de dois algarismos tem forma
com . Para ser o maior possível, escolhemos e . - Portanto o maior número de dois algarismos em base
é , ou escrito de forma usual, como dígitos: isto é em decimal.
Passo 6
Convertemos esse maior dois-dígitos para decimal e simplificamos:
Expliquei: multipliquei e fatorizei para ficar simples.
Passo 7
Agora somamos os dois valores (menor três-dígitos e maior dois-dígitos) e igualamos a
:
Pelo enunciado, em decimal essa soma vale
e foi dado que
. Logo formamos a equação
Passo 8
Resolvemos a equação passo a passo:
Como
é uma base de numeração, deve ser um inteiro positivo maior ou igual a
. Assim descartamos
e ficamos com
Passo 9
Vamos checar rapidamente para ter certeza (sempre bom conferir numa prova): em base
- O menor número de três algarismos é
. - O maior número de dois algarismos é
.
A soma é, que coincide com o dado. Tudo bate.