Exercício 16. Uma amostra aleatória
é coletada de uma distribuição Normal com média
e variância (conhecida)
. Considere a distribuição a priori
. Qual deve ser o tamanho amostral para reduzir a variância:
da distribuição preditiva de uma observação futura oriunda da mesma população para
, para
?
da distribuição preditiva de uma observação futura oriunda da mesma população para
Passo 1
O enunciado trata de uma amostra independente
de uma Normal com média
e variância conhecida
, e de uma priori
. Queremos achar o tamanho
que faz a variância da distribuição preditiva de uma futura observação
ser
Para isso vamos usar (1) o cálculo da posterior de
e (2) a fórmula da variância preditiva em modelo conjugado Normal-Normal.
Passo 2
Como a variância
é conhecida, a posterior de
é Normal com variância
Passo 3
A distribuição preditiva de
(integrando sobre a posterior de
) é Normal com variância
Passo 4
Impondo
vamos isolar
. Primeiro multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 5
Expandindo e coletando termos em
obtemos
Reagrupando:
Multiplicando numerador e denominador por
e simplificando dá (usando
e
positivos):
Passo 6
Para garantir
precisamos de
.