Exercício 16. Uma amostra aleatória X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} é coletada de uma distribuição Normal com média \mu e variância (conhecida) \sigma^{2}. Considere a distribuição a priori \mu \sim N\left(\mu_{0}, \sigma_{0}^{2}\right). Qual deve ser o tamanho amostral para reduzir a variância:
da distribuição preditiva de uma observação futura oriunda da mesma população para \sigma_{0}^{2} / k, para k>1 ?

Passo 1

O enunciado trata de uma amostra independente X_{1},\dots,X_{n} de uma Normal com média \mu e variância conhecida \sigma^{2}, e de uma priori \mu\sim N(\mu_{0},\sigma_{0}^{2}). Queremos achar o tamanho n que faz a variância da distribuição preditiva de uma futura observação X_{n+1} ser
\frac{\sigma_{0}^{2}}{k},\quad k>1.
Para isso vamos usar (1) o cálculo da posterior de \mu e (2) a fórmula da variância preditiva em modelo conjugado Normal-Normal.

Passo 2

Como a variância \sigma^{2} é conhecida, a posterior de \mu é Normal com variância
\sigma_{n}^{2} =\Bigl(\tfrac{1}{\sigma_{0}^{2}}+\tfrac{n}{\sigma^{2}}\Bigr)^{-1} =\frac{\sigma_{0}^{2}\,\sigma^{2}}{\sigma^{2}+n\,\sigma_{0}^{2}}.

Passo 3

A distribuição preditiva de X_{n+1} (integrando sobre a posterior de \mu) é Normal com variância
\Var(X_{n+1}\mid\text{dados}) =\underbrace{\sigma^{2}}_{\text{erro de amostragem}} +\underbrace{\sigma_{n}^{2}}_{\text{incerteza em }\mu} =\sigma^{2}+\frac{\sigma_{0}^{2}\,\sigma^{2}}{\sigma^{2}+n\,\sigma_{0}^{2}}.

Passo 4

Impondo
\sigma^{2}+\frac{\sigma_{0}^{2}\,\sigma^{2}}{\sigma^{2}+n\,\sigma_{0}^{2}} =\frac{\sigma_{0}^{2}}{k},
vamos isolar n. Primeiro multiplicamos ambos os lados por \sigma^{2}+n\,\sigma_{0}^{2}:
\sigma^{2}\bigl(\sigma^{2}+n\,\sigma_{0}^{2}\bigr) +\sigma_{0}^{2}\,\sigma^{2} =\frac{\sigma_{0}^{2}}{k}\,\bigl(\sigma^{2}+n\,\sigma_{0}^{2}\bigr).

Passo 5

Expandindo e coletando termos em n obtemos
\sigma^{4}+\sigma^{2}\,\sigma_{0}^{2}(n+1) =\frac{\sigma_{0}^{2}\,\sigma^{2}}{k}+\frac{n\,\sigma_{0}^{4}}{k}.
Reagrupando:
n\Bigl(\sigma^{2}\,\sigma_{0}^{2}-\frac{\sigma_{0}^{4}}{k}\Bigr) =-\sigma^{4}-\sigma^{2}\,\sigma_{0}^{2}\,\frac{k-1}{k}.
Multiplicando numerador e denominador por -1 e simplificando dá (usando \sigma^{2} e \sigma_{0}^{2} positivos):

Passo 6

n =\frac{k\,\sigma^{4}+(k-1)\,\sigma^{2}\,\sigma_{0}^{2}} {\sigma_{0}^{2}\,\bigl(\sigma_{0}^{2}-k\,\sigma^{2}\bigr)}.
Para garantir n>0 precisamos de \sigma_{0}^{2}>k\,\sigma^{2}.

Resposta

n =\frac{k\,\sigma^{4}+(k-1)\,\sigma^{2}\,\sigma_{0}^{2}} {\sigma_{0}^{2}\,\bigl(\sigma_{0}^{2}-k\,\sigma^{2}\bigr)}, \quad\text{sob a condição }\sigma_{0}^{2}>k\,\sigma^{2}.çã

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