Exercício 16. Uma amostra aleatória X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} é coletada de uma distribuição Normal com média \mu e variância (conhecida) \sigma^{2}. Considere a distribuição a priori \mu \sim N\left(\mu_{0}, \sigma_{0}^{2}\right). Qual deve ser o tamanho amostral para reduzir a variância:
da distribuição a posteriori de \mu para \sigma_{0}^{2} / k, para k>1 ?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma amostra aleatória X_{1},\dots,X_{n} de uma Normal com média \mu e variância conhecida \sigma^{2}. A priori para \mu é \mu\sim N(\mu_{0},\sigma_{0}^{2}). O conteúdo é inferência Bayesiana com conjugação Normal para média com variância conhecida. Para resolver, vamos usar a fórmula da variância a posteriori em modelo Normal-Normal.

Passo 2

Em conjugação Normal-Normal, a variância a posteriori de \mu é
\sigma_{\text{post}}^{2} =\Bigl(\frac{n}{\sigma^{2}}+\frac{1}{\sigma_{0}^{2}}\Bigr)^{-1} =\frac{\sigma^{2}\,\sigma_{0}^{2}}{\sigma^{2}+n\,\sigma_{0}^{2}}.

Passo 3

Queremos que essa variância seja igual a \sigma_{0}^{2}/k. Logo, impomos
\frac{\sigma^{2}\,\sigma_{0}^{2}}{\sigma^{2}+n\,\sigma_{0}^{2}} =\frac{\sigma_{0}^{2}}{k}.

Passo 4

Resolvendo em relação a n:
\sigma^{2} =\frac{1}{k}\bigl(\sigma^{2}+n\,\sigma_{0}^{2}\bigr) \;\Longrightarrow\; k\,\sigma^{2}=\sigma^{2}+n\,\sigma_{0}^{2} \;\Longrightarrow\; n\,\sigma_{0}^{2}=(k-1)\,\sigma^{2} \;\Longrightarrow\; n=\frac{(k-1)\,\sigma^{2}}{\sigma_{0}^{2}}.

Resposta

O tamanho amostral necessário é
n=\frac{(k-1)\,\sigma^{2}}{\sigma_{0}^{2}}.

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