Exercício 17. Seja X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória tal que X_{i} \mid \theta \sim \operatorname{Poisson}(\theta), i=1,2, \ldots, n.
(a) Determine os parâmetros da priori conjugada de \theta supondo que E(\theta)=4 e C V(\theta)=0,5, e determine n tal que \operatorname{Var}(\theta \mid \boldsymbol{x})<0,01;
(b) Mostre que a média a posteriori é da forma
em que \mu_{0}=E(\theta) e \gamma_{n} \rightarrow 1 quando n \rightarrow \infty;
(c) Refaça o item anterior, agora supondo que a amostra é oriunda de uma distribuição Bernoulli com probabilidade de sucesso \theta e, a priori, \theta \sim \operatorname{Beta}(a, b).
Passo 1
O enunciado trata de uma amostra X_{1},\dots,X_{n} condicionada a \theta com distribuição \operatorname{Poisson}(\theta).
(a) Queremos achar a priori conjugada para \theta de modo que E(\theta)=4 e CV(\theta)=0,5, e depois determinar n tal que \operatorname{Var}(\theta\mid \mathbf x)<0,01.
(b) Mostrar que a média a posteriori se escreve como