Exercício 17. Seja X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória tal que X_{i} \mid \theta \sim \operatorname{Poisson}(\theta), i= 1,2, \ldots, n.
(a) Determine os parâmetros da priori conjugada de \theta supondo que E(\theta)=4 e C V(\theta)=0,5, e determine n tal que \operatorname{Var}(\theta \mid \boldsymbol{x})<0,01;
(b) Mostre que a média a posteriori é da forma
\gamma_{n} \bar{x}_{n}+\left(1-\gamma_{n}\right) \mu_{0}
em que \mu_{0}=E(\theta) e \gamma_{n} \rightarrow 1 quando n \rightarrow \infty;
(c) Refaça o item anterior, agora supondo que a amostra é oriunda de uma distribuição Bernoulli com probabilidade de sucesso \theta e, a priori, \theta \sim \operatorname{Beta}(a, b).

Passo 1

O enunciado trata de uma amostra X_{1},\dots,X_{n} condicionada a \theta com distribuição \operatorname{Poisson}(\theta).
(a) Queremos achar a priori conjugada para \theta de modo que E(\theta)=4 e CV(\theta)=0,5, e depois determinar n tal que \operatorname{Var}(\theta\mid \mathbf x)<0,01.
(b) Mostrar que a média a posteriori se escreve como
\gamma_{n}\,\bar x_{n} + \bigl(1-\gamma_{n}\bigr)\,\mu_{0},
com \mu_{0}=E(\theta) e \gamma_{n}\to1.
(c) Repetir (b) para X_{i}\sim\mathrm{Bernoulli}(\theta) e \theta\sim\mathrm{Beta}(a,b).

Passo 2

Para o modelo Poisson- \theta, a priori conjugada é a distribuição Gama de parâmetros \alpha (shape) e \beta (rate), ou seja
\pi(\theta)\propto \theta^{\alpha-1}e^{-\beta\theta},\quad \theta>0.
Recordando que
E(\theta)=\frac{\alpha}{\beta}, \quad \operatorname{Var}(\theta)=\frac{\alpha}{\beta^{2}}, \quad CV(\theta)=\frac{\sqrt{\operatorname{Var}(\theta)}}{E(\theta)} =\frac{1}{\sqrt{\alpha}}.

Passo 3

Impondo E(\theta)=4 e CV(\theta)=0,5 temos
\frac{\alpha}{\beta}=4, \quad \frac{1}{\sqrt{\alpha}}=0,5 \;\Longrightarrow\; \alpha=4, \;\beta=\frac{\alpha}{4}=1.
Logo a priori é \theta\sim\mathrm{Gamma}(4,1).

Passo 4

Com amostra Poisson, a verossimilhança dá \sum_{i}X_{i}=S e a posteriori é
\theta\mid \mathbf x \sim \mathrm{Gamma}\bigl(\alpha+S,\;\beta+n\bigr) =\mathrm{Gamma}(4+S,\;1+n).
Dessa forma
\operatorname{Var}(\theta\mid \mathbf x) =\frac{4+S}{(1+n)^{2}}.
Para que isso seja menor que 0,01 podemos usar a aproximação S\approx n\,\mu_{0}=4n. Então
\operatorname{Var}(\theta\mid \mathbf x) \approx \frac{4+4n}{(1+n)^{2}} =\frac{4(n+1)}{(n+1)^{2}} =\frac{4}{n+1} <0,01 \;\Longrightarrow\; n+1>400 \;\Longrightarrow\; n\ge 400.

Passo 5

A média a posteriori é
E(\theta\mid \mathbf x) =\frac{\alpha+S}{\beta+n} =\frac{4+ n\,\bar x_{n}}{1+n} =\underbrace{\frac{n}{n+1}}_{\gamma_{n}}\;\bar x_{n} +\underbrace{\frac{1}{n+1}}_{1-\gamma_{n}} \;\underbrace{\frac{4}{1}}_{\mu_{0}}.
Assim
E(\theta\mid \mathbf x) =\gamma_{n}\,\bar x_{n}+(1-\gamma_{n})\,\mu_{0},
onde \gamma_{n}=n/(n+1)\to1 quando n\to\infty.

Passo 6

No caso Bernoulli( \theta) com priori \theta\sim\mathrm{Beta}(a,b), a posteriori é
\theta\mid \mathbf x \sim \mathrm{Beta}\bigl(a+\sum_i x_i,\;b+n-\sum_i x_i\bigr).
A média a posteriori vale
E(\theta\mid \mathbf x) =\frac{a+\sum_i x_i}{a+b+n} =\frac{n}{a+b+n}\,\bar x_{n} +\frac{a+b}{a+b+n}\,\frac{a}{a+b}.
Portanto é da forma
\gamma_{n}\,\bar x_{n}+(1-\gamma_{n})\mu_{0} com
\mu_{0}=a/(a+b) e \gamma_{n}=n/(a+b+n)\to1.

Resposta

(a) A priori conjugada é \mathrm{Gamma}(4,1). Usando S \approx 4n, obtemos \operatorname{Var}(\theta \mid \mathbf{x}) \approx \frac{4}{n+1} < 0,01, logo n \ge 400.
(b) E(\theta \mid \mathbf{x}) = \gamma_{n} \bar{x}_{n} + (1 - \gamma_{n}) \mu_{0} com \gamma_{n} = \frac{n}{n+1} \to 1.
(c) Para Bernoulli–Beta, E(\theta \mid \mathbf{x}) = \gamma_{n} \bar{x}_{n} + (1 - \gamma_{n}) \mu_{0} com \gamma_{n} = \frac{n}{a+b+n} \to 1 e \mu_{0} = \frac{a}{a+b}.

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