Exercício 16. (Apostol seção 11.28 exercício 14) Use uma mudança de coordenadas adequada para calcular a integral dupla abaixo:
em que
é paralelogramo de vértices
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é o paralelogramo de vértices
,
,
e
.
O truque é usar a mudança de variáveis
O truque é usar a mudança de variáveis
pois a integranda fica
e o domínio vira um retângulo em
.
Passo 2
Vamos ver como o domínio
se transforma em termos de
e
. Em cada vértice calculamos
Logo, em
o domínio é
Passo 3
Agora calculamos o jacobiano da inversa da transformação. Como
temos a matriz
cujo determinante é
. Portanto
Passo 4
Reescrevendo a integral em
, obtemos
onde
.
Passo 5
Como o integrando separa em
e
, podemos fazer
Calculamos cada parte:
- Usando
,
Passo 6
Juntando tudo: