Exercício 16. (Apostol seção 11.28 exercício 14) Use uma mudança de coordenadas adequada para calcular a integral dupla abaixo:
integral duplaS(x-y)^2 sen^2(x+y) d x d y
em que S é paralelogramo de vértices (pi, 0),(2 pi, pi),(pi, 2 pi) e (0, pi)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaS(x-y)^2sin^2(x+y),dx,dy
onde S é o paralelogramo de vértices (pi,0), (2pi,pi), (pi,2pi) e (0,pi).
O truque é usar a mudança de variáveis
u = x - y, v = x + y,
pois a integranda fica u^2sin^2(v) e o domínio vira um retângulo em (u,v).

Passo 2

Vamos ver como o domínio S se transforma em termos de u e v. Em cada vértice calculamos
(pi,0)&:;u=pi-0=pi,;v=pi+0=pi, (2pi,pi)&:;u=2pi-pi=pi,;v=2pi+pi=3pi, (pi,2pi)&:;u=pi-2pi=-pi,;v=pi+2pi=3pi, (0,pi)&:;u=0-pi=-pi,;v=0+pi=pi
Logo, em (u,v) o domínio é
-,pi<= u<=pi, pi<= v<=3pi

Passo 3

Agora calculamos o jacobiano da inversa da transformação. Como
u = x-y, v = x+y
temos a matriz
partial(u,v)partial(x,y) =1 & -11 & 1,
cujo determinante é 2. Portanto
partial(x,y)partial(u,v)=12

Passo 4

Reescrevendo a integral em (u,v), obtemos
integral duplaS(x-y)^2sin^2(x+y),dx,dy =integral duplaRu^2sin^2(v),12,du,dv,
onde R=(u,v)mid -pi<= u<=pi,;pi<= v<=3pi.

Passo 5

Como o integrando separa em u e v, podemos fazer
12integralu=-pi^piu^2,du ;times;integralv=pi^3pisin^2(v),dv
Calculamos cada parte:
integral-pi^piu^2,du =2integral0^piu^2,du =2cdotpi^33 =2pi^33
  1. Usando sin^2(v)=tfrac12l(1-cos(2v)r),
integralpi^3pisin^2(v),dv =12l[(3pi-pi)r] -12integralpi^3picos(2v),dv =2pi2-14l[sin(2v)r]pi^3pi =pi

Passo 6

Juntando tudo:
12cdot2pi^33cdotpi =pi^43

Resposta

boxedpi^43

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