Exercício 16. Calcule a derivada das seguintes funções.
y=\ln \left(\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}\right)} Resposta: f^{\prime}(x)=\frac{\frac{-3 x^{2}}{x^{4}}+\frac{-2 x}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = \ln\!\bigl(\tfrac{1}{x^{3}} + \tfrac{1}{x^{2}}\bigr).
Este problema envolve a regra da cadeia aplicada ao logaritmo e a derivada de potências.

Passo 2

Definimos
u(x) = \tfrac{1}{x^{3}} + \tfrac{1}{x^{2}} = x^{-3} + x^{-2}.
Usando \bigl(x^{n}\bigr)' = n\,x^{n-1}, temos
u'(x) = (-3)\,x^{-4} + (-2)\,x^{-3} = -3\,x^{-4} - 2\,x^{-3}.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia para y = \ln\bigl(u(x)\bigr):
y' = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{-3\,x^{-4} - 2\,x^{-3}}{x^{-3} + x^{-2}}.

Passo 4

Para simplificar, fatoramos x^{-4} no numerador e x^{-3} no denominador:
-3\,x^{-4} - 2\,x^{-3} = x^{-4}\,(-3 - 2x), \quad x^{-3} + x^{-2} = x^{-3}\,(1 + x).
Logo,
y' = \frac{x^{-4}\,(-3 - 2x)}{x^{-3}\,(1 + x)} = \frac{-3 - 2x}{x\,(1 + x)}.

Resposta

y' = -\frac{2x + 3}{x\,(x + 1)}.

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