Exercício 16. Calcule a derivada das seguintes funções.
y=\operatorname{sen}(4 x)^{\cos (3 x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \sin(4x)^{\cos(3x)}.
Este é um caso de função potência com base e expoente variáveis, então vamos usar logaritmo e derivação implícita (log-diferenciação).

Passo 2

Definimos
f(x) = \sin(4x), \quad g(x) = \cos(3x),
de modo que
y = [f(x)]^{g(x)}.

Passo 3

Aplicamos o logaritmo em ambos os lados:
\ln y = g(x)\,\ln f(x).
Agora derivamos implicitamente em relação a x:
\frac{y'}{y} = g'(x)\,\ln f(x) \;+\; g(x)\,\frac{f'(x)}{f(x)}.

Passo 4

Calculamos f'(x) e g'(x):
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(\sin(4x)\bigr) = 4\cos(4x),
g'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(\cos(3x)\bigr) = -3\sin(3x).

Passo 5

Substituindo em \frac{y'}{y}:
\frac{y'}{y} = -3\sin(3x)\,\ln\!\bigl(\sin(4x)\bigr) \;+\;\cos(3x)\,\frac{4\cos(4x)}{\sin(4x)}.

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados por y:
y' = y\Bigl[-3\sin(3x)\,\ln\!\bigl(\sin(4x)\bigr) +4\cos(3x)\,\frac{\cos(4x)}{\sin(4x)}\Bigr].
Como y = \sin(4x)^{\cos(3x)}, obtemos a forma final.

Resposta

y' = \sin(4x)^{\cos(3x)}\Bigl[-3\sin(3x)\,\ln\!\bigl(\sin(4x)\bigr) +4\cos(3x)\,\cot(4x)\Bigr].

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