Exercício 16. Calcule a derivada das seguintes funções.
y=e^{x^{6}+3 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = e^{x^{6}+ 3x^{2}}
Aqui o conteúdo principal é a regra da cadeia aplicada à função exponencial. Para resolver, precisamos lembrar que, se u=u(x), então \frac{d}{dx}e^{u} = e^{u}\,u'.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = x^{6} + 3x^{2}.
Para aplicar a regra da cadeia, calculamos agora u’(x):
u'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^{6}\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr) = 6x^{5} + 6x.

Passo 3

Agora aplicamos a derivada da exponencial composta:
y' = \frac{d}{dx}e^{u(x)} = e^{u(x)} \cdot u'(x).
Substituindo u(x) e u’(x), obtemos
y' = e^{x^{6}+3x^{2}} \;\bigl(6x^{5} + 6x\bigr).

Resposta

y' = (6x^{5} + 6x)\,e^{x^{6} + 3x^{2}}

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