Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede para calcular, se existir, o limite
Informações fornecidas:
- A expressão cujo limite deve ser calculado é
. - A variável
tende para (ou seja, vai para valores muito grandes e positivos).
O objetivo é determinar o valor desse limite ou explicar por que ele não existe.
Passo 2
Estratégia escolhida (razão): quando
os termos de maior ordem em
dominam o comportamento da fração. Uma técnica simples e direta é dividir numerador e denominador por
(isto é permitido para
; para
podemos considerar
suficientemente grande). Essa operação torna explícito o comportamento dos termos que tendem a zero e dos que tendem a constantes.
Passo 3
Dividindo numerador e denominador por
obtemos (escrevendo a manipulação passo a passo):
Agora simplificamos a raiz no denominador:
Portanto a expressão fica
Passo 4
Calcular os limites das partes que aparecem:
-
porque tende a zero quando cresce sem limite. -
pelo mesmo motivo. - Para a raiz, note que
quando . A função é contínua para argumentos positivos, logo
Passo 5
Usando as propriedades de limites (soma, quociente, e continuidade), aplicamos os limites nas partes da fração obtida:
Passo 6
Comentário extra (verificação alternativa curta): outra forma é escrever
para
e prosseguir igualmente, chegando ao mesmo resultado
. Isso confirma a consistência do procedimento.