Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 x+1}{3+\sqrt{5+9 x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular, se existir, o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+1}{3+\sqrt{5+9x^{2}}}.
Informações fornecidas:
  • A expressão cujo limite deve ser calculado é \dfrac{2x+1}{3+\sqrt{5+9x^{2}}}.
  • A variável x tende para +\infty (ou seja, x vai para valores muito grandes e positivos).
    O objetivo é determinar o valor desse limite ou explicar por que ele não existe.

Passo 2

Estratégia escolhida (razão): quando x\to+\infty os termos de maior ordem em x dominam o comportamento da fração. Uma técnica simples e direta é dividir numerador e denominador por x (isto é permitido para x\neq0; para x\to+\infty podemos considerar x>0 suficientemente grande). Essa operação torna explícito o comportamento dos termos que tendem a zero e dos que tendem a constantes.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x obtemos (escrevendo a manipulação passo a passo):
\frac{2x+1}{3+\sqrt{5+9x^{2}}} = \frac{\dfrac{2x+1}{x}}{\dfrac{3}{x}+\dfrac{\sqrt{5+9x^{2}}}{x}} = \frac{2+\dfrac{1}{x}}{\dfrac{3}{x}+\sqrt{\dfrac{5+9x^{2}}{x^{2}}}}.
Agora simplificamos a raiz no denominador:
\sqrt{\dfrac{5+9x^{2}}{x^{2}}}=\sqrt{\dfrac{5}{x^{2}}+9}=\sqrt{9+\dfrac{5}{x^{2}}}.
Portanto a expressão fica
\frac{2+\dfrac{1}{x}}{\dfrac{3}{x}+\sqrt{9+\dfrac{5}{x^{2}}}}.

Passo 4

Calcular os limites das partes que aparecem:
  • \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0 porque 1/x tende a zero quando x cresce sem limite.
  • \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{3}{x}=0 pelo mesmo motivo.
  • Para a raiz, note que \dfrac{5}{x^{2}}\to0 quando x\to+\infty. A função \sqrt{\cdot} é contínua para argumentos positivos, logo
\lim_{x\to+\infty}\sqrt{9+\dfrac{5}{x^{2}}}=\sqrt{\lim_{x\to+\infty}\left(9+\dfrac{5}{x^{2}}\right)}=\sqrt{9}=3.

Passo 5

Usando as propriedades de limites (soma, quociente, e continuidade), aplicamos os limites nas partes da fração obtida:
\lim_{x\to+\infty}\frac{2+\dfrac{1}{x}}{\dfrac{3}{x}+\sqrt{9+\dfrac{5}{x^{2}}}} =\frac{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(2+\dfrac{1}{x}\right)}{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{3}{x}+\sqrt{9+\dfrac{5}{x^{2}}}\right)} =\frac{2+0}{0+3}=\frac{2}{3}.

Passo 6

Comentário extra (verificação alternativa curta): outra forma é escrever \sqrt{5+9x^{2}}=x\sqrt{9+5/x^{2}} para x>0 e prosseguir igualmente, chegando ao mesmo resultado \dfrac{2}{3}. Isso confirma a consistência do procedimento.

Resposta

\dfrac{2}{3}

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