Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{1+x^{2}}+3}{2-3 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular, se existir, o limite
\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{1+x^{2}}+3}{2-3x}.
Informações dadas:
  • A variável x tende para +\infty.
  • O numerador é \sqrt{1+x^{2}}+3.
  • O denominador é 2-3x.
    A pergunta é: esse limite existe? Se existir, qual é o valor; se não, por que não existe?

Passo 2

Observação sobre o comportamento das partes para x\to+\infty:
  • \sqrt{1+x^{2}} cresce sem limite quando x\to+\infty e tem ordem de grandeza x (ou seja, comporta-se como x para x grande).
  • O termo constante +3 no numerador é irrelevante em relação a \sqrt{1+x^2} para x muito grande.
  • No denominador, o termo dominante é -3x, portanto o denominador tende a -\infty.
    Então estamos diante de uma razão entre quantidades que crescem em magnitude (numerador positivo que tende a +\infty e denominador que tende a -\infty). Para tratar limites desse tipo é comum dividir numerador e denominador pelo fator que domina (a «ordem» de x). Aqui o termo dominante é proporcional a x (pois \sqrt{1+x^2}\sim x), então vamos dividir por x.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x (com x>0 quando x\to+\infty, então essa divisão é válida sem trocar o sinal), obtemos:
\frac{\sqrt{1+x^{2}}+3}{2-3x} = \frac{\;x\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}} + 3\;}{\;x\left(\dfrac{2}{x}-3\right)\;} = \frac{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}} + \dfrac{3}{x}}{\dfrac{2}{x}-3}.
Esta forma é conveniente porque agora cada parcela envolvida tem um limite simples quando x\to+\infty.

Passo 4

Calcular os limites das parcelas que apareceram:
  • Como \dfrac{1}{x^{2}}\to 0 quando x\to+\infty, pela continuidade da função raiz quadrada temos
\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}\\ \xrightarrow[x\to+\infty]{}\\ \sqrt{1}=1.
(Explicação curta: compor uma função contínua com uma sequência que converge dá convergência do composto para o valor composto.)
  • Também \dfrac{3}{x}\to 0 quando x\to+\infty.
  • E \dfrac{2}{x}\to 0 quando x\to+\infty.
    Portanto, tomando limites no numerador e denominador da forma transformada:
\text{numerador}\\ \to\\\ 1 + 0 = 1, \qquad \text{denominador}\\ \to\\\ 0 - 3 = -3.

Passo 5

Aplicando a regra do limite do quociente (se o limite do numerador existe e o limite do denominador existe e é não nulo, então o limite do quociente é o quociente dos limites), obtemos:
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}} + \dfrac{3}{x}}{\dfrac{2}{x}-3} = \frac{1}{-3} = -\tfrac{1}{3}.
Portanto o limite existe e vale -\tfrac{1}{3}.

Passo 6

Interpretação e comentário prático (dica para prova): sempre que aparecer \sqrt{1+x^{2}} para x\to+\infty, lembre que \sqrt{1+x^{2}}=x\sqrt{1+1/x^{2}} e \sqrt{1+1/x^{2}}\to1. Assim \sqrt{1+x^{2}} comporta-se como x. A estratégia de dividir pelo maior crescimento (aqui x) é a maneira mais segura e rápida em provas para limites desse tipo. Um exemplo semelhante: \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x^{2}+5}-x}{1} pode ser tratado com a mesma ideia (ou por racionalização) e tende a 0.

Resposta

-\dfrac{1}{3}

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