Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê. \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{1+x^{2}}+3}{2-3 x}
Passo 1
O enunciado pede para calcular, se existir, o limite
\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{1+x^{2}}+3}{2-3x}.
Informações dadas:
A variável x tende para +\infty.
O numerador é \sqrt{1+x^{2}}+3.
O denominador é 2-3x.
A pergunta é: esse limite existe? Se existir, qual é o valor; se não, por que não existe?
Passo 2
Observação sobre o comportamento das partes para x\to+\infty:
\sqrt{1+x^{2}} cresce sem limite quando x\to+\infty e tem ordem de grandeza x (ou seja, comporta-se como x para x grande).
O termo constante +3 no numerador é irrelevante em relação a \sqrt{1+x^2} para x muito grande.
No denominador, o termo dominante é -3x, portanto o denominador tende a -\infty.
Então estamos diante de uma razão entre quantidades que crescem em magnitude (numerador positivo que tende a +\infty e denominador que tende a -\infty). Para tratar limites desse tipo é comum dividir numerador e denominador pelo fator que domina (a «ordem» de x). Aqui o termo dominante é proporcional a x (pois \sqrt{1+x^2}\sim x), então vamos dividir por x.
Passo 3
Dividindo numerador e denominador por x (com x>0 quando x\to+\infty, então essa divisão é válida sem trocar o sinal), obtemos:
Aplicando a regra do limite do quociente (se o limite do numerador existe e o limite do denominador existe e é não nulo, então o limite do quociente é o quociente dos limites), obtemos:
Interpretação e comentário prático (dica para prova): sempre que aparecer \sqrt{1+x^{2}} para x\to+\infty, lembre que \sqrt{1+x^{2}}=x\sqrt{1+1/x^{2}} e \sqrt{1+1/x^{2}}\to1. Assim \sqrt{1+x^{2}} comporta-se como x. A estratégia de dividir pelo maior crescimento (aqui x) é a maneira mais segura e rápida em provas para limites desse tipo. Um exemplo semelhante: \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x^{2}+5}-x}{1} pode ser tratado com a mesma ideia (ou por racionalização) e tende a 0.