Exercício 16. Calcule e, se necessário, simplifique o resultado até obter uma fração irredutível.
\frac{2}{7} \cdot \frac{3}{10}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto das frações \dfrac{2}{7} e \dfrac{3}{10} e, se necessário, simplificar o resultado até obter uma fração irredutível. As informações dadas são:
  • Primeira fração: \dfrac{2}{7}.
  • Segunda fração: \dfrac{3}{10}.
    A tarefa é fazer \dfrac{2}{7}\cdot\dfrac{3}{10} e entregar a fração final já simplificada.

Passo 2

Regra para multiplicar frações (a ideia básica, mastigada): para multiplicar \dfrac{a}{b} por \dfrac{c}{d} basta multiplicar numeradores entre si e denominadores entre si. Em fórmula:
\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}.
Aqui a,b,c,d são números inteiros; a e c ficam no numerador, b e d no denominador.

Passo 3

O que significa “simplificar até obter uma fração irredutível”? Significa eliminar quaisquer fatores em comum entre numerador e denominador: se numerador e denominador têm um divisor comum maior que 1, podemos dividir ambos por esse divisor. Repetimos até que não haja mais divisor comum além de 1. Métodos comuns:
  • Cancelamento cruzado antes de multiplicar (pré-simplificação).
  • Ou multiplicar primeiro e depois dividir pelo máximo divisor comum (MDC ou gcd).
    Vou usar o cancelamento cruzado porque costuma deixar os números menores e é prático de fazer na prova.

Passo 4

Aplicando cancelamento cruzado em \dfrac{2}{7}\cdot\dfrac{3}{10}:
  • Observe que 2 (numerador da primeira) e 10 (denominador da segunda) têm fator comum 2.
    Dividindo esses dois por 2 obtemos:
\frac{2}{7}\cdot\frac{3}{10}=\frac{1}{7}\cdot\frac{3}{5}.
Expliquei: 2\div 2=1 e 10\div 2=5. Não existe fator comum entre 1 e 7 nem entre 3 e 7 ou entre 1 e 5 que possa ser cancelado mais.

Passo 5

Agora multiplicamos numeradores e denominadores já simplificados:
\frac{1}{7}\cdot\frac{3}{5}=\frac{1\cdot 3}{7\cdot 5}=\frac{3}{35}.

Passo 6

Verificação de que \dfrac{3}{35} é irredutível:
  • 3 é primo (divisores: 1 e 3).
  • 35=5\cdot 7 não tem fator 3.
    Logo o único divisor comum entre 3 e 35 é 1. A fração está irredutível.

Passo 7

Observação alternativa (opcional, útil na prova): multiplicando sem cancelar primeiro dá
\frac{2\cdot 3}{7\cdot 10}=\frac{6}{70},
e \gcd(6,70)=2, então \dfrac{6}{70}\div 2=\dfrac{3}{35}, mesmo resultado.

Resposta

\dfrac{3}{35}

Exercícios relacionados