Exerćcio 15. Calcule:
\frac{2}{5}+\frac{3}{7}-\frac{1}{3};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma e subtração de três frações: \dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{7} - \dfrac{1}{3}. As informações dadas são exatamente essas três frações. Nosso objetivo final é obter um único número (uma fração simples e, se possível, reduzida) que represente essa expressão.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): para somar ou subtrair frações com denominadores diferentes, precisamos escrevê‑las com o mesmo denominador. O jeito mais prático é usar o mínimo múltiplo comum (MMC, também chamado de m.m.c. ou LCM) dos denominadores como denominador comum. Depois, convertemos cada fração multiplicando numerador e denominador pelo fator necessário para chegar ao denominador comum e, então, somamos/subtraímos os numeradores.

Passo 3

Vamos achar o MMC dos denominadores 5, 7 e 3.
  • 5 é primo.
  • 7 é primo.
  • 3 é primo.
    Como são primos distintos, o MMC é o produto: \mathrm{MMC}=5\cdot7\cdot3.
    Calculemos:
\mathrm{MMC}=5\cdot7\cdot3=35\cdot3=105.
Portanto o denominador comum que usaremos é 105.

Passo 4

Converter cada fração para denominador 105.
  • Para \dfrac{2}{5}: multiplicar numerador e denominador por \dfrac{105}{5}=21. Então
\dfrac{2}{5} = \dfrac{2\cdot21}{5\cdot21} = \dfrac{42}{105}.
  • Para \dfrac{3}{7}: multiplicar por \dfrac{105}{7}=15. Então
\dfrac{3}{7} = \dfrac{3\cdot15}{7\cdot15} = \dfrac{45}{105}.
  • Para \dfrac{1}{3}: multiplicar por \dfrac{105}{3}=35. Então
\dfrac{1}{3} = \dfrac{1\cdot35}{3\cdot35} = \dfrac{35}{105}.

Passo 5

Agora que todas têm o mesmo denominador, somamos/subtraímos os numeradores:
\dfrac{42}{105} + \dfrac{45}{105} - \dfrac{35}{105} = \dfrac{42+45-35}{105}.
Calcule o numerador:
42+45=87,\qquad 87-35=52.
Logo a fração resultante é
\dfrac{52}{105}.

Passo 6

Verificar se dá para simplificar \dfrac{52}{105}. Buscamos o máximo divisor comum (MDC) de 52 e 105.
  • Fatores de 52: 52=2^2\cdot13.
  • Fatores de 105: 105=3\cdot5\cdot7.
    Não há fatores comuns além de 1. Portanto \gcd(52,105)=1 e a fração já está irredutível.

Passo 7

Checagem rápida em decimal (só para ver se faz sentido):
\dfrac{2}{5}=0,4,\quad \dfrac{3}{7}\approx0,42857,\quad \dfrac{1}{3}\approx0,33333.
Fazendo 0,4+0,42857-0,33333\approx0,49524. E
\dfrac{52}{105}\approx0,495238\ldots
Os valores batem (pequena diferença por arredondamento), então o resultado está consistente.

Resposta

\dfrac{52}{105}

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