Exercício 16. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo- x, da região limitada por:
a) y=x e y=x^{3}, x>0

Passo 1

O enunciado dá a região do plano delimitada por y=x e y=x^{3} para x>0, e pede o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo- x. Informações relevantes fornecidas:
  • As curvas que limitam a região são y=x e y=x^{3}.
  • A rotação é feita em torno do eixo- x.
  • A condição x>0 restringe a parte da curva que interessa.
  • O objetivo final é calcular o volume do sólido de revolução obtido.

Passo 2

Primeiro precisamos descobrir o intervalo em x onde as duas curvas se cruzam (pontos de interseção), porque isso dá os limites de integração. Igualamos as duas curvas:
x = x^{3}.
Reescrevendo:
x^{3}-x=0 \quad\Longrightarrow\quad x(x^{2}-1)=0.
As soluções são x=0, x=1 e x=-1. Como o enunciado exige x>0, os pontos de interseção relevantes são
x=0\quad\text{e}\quad x=1.
Logo a região está entre x=0 e x=1.

Passo 3

Agora devemos ver qual curva está acima da outra no intervalo [0,1], para saber qual é o raio externo e qual é o raio interno ao rotacionar em torno do eixo- x. Calculamos a diferença:
x - x^{3} = x(1 - x^{2}).
Para 0<x<1 temos 1-x^{2}>0 e x>0, portanto x - x^{3}>0. Isso mostra que, em (0,1),
y_{\text{superior}} = x\quad\text{e}\quad y_{\text{inferior}} = x^{3}.
Ao rotacionar em torno do eixo- x, o raio externo da lâmina circular (washers) é R(x)=x e o raio interno é r(x)=x^{3}.

Passo 4

Explico agora o método dos discos/aros (washers), que é o apropriado aqui. Pegamos uma pequena fatia vertical da região, com espessura \mathrm{d}x, fixa em um x. Ao girar essa fatia em torno do eixo- x ela gera um anel circular cuja área é a diferença entre a área do círculo de raio externo R(x) e a do círculo de raio interno r(x):
\text{área da seção} = \pi\big(R(x)^{2}-r(x)^{2}\big).áçã
Multiplicando essa área pela espessura \mathrm{d}x obtemos o volume aproximado da fatia. Somando (integrando) de x=a até x=b obtemos o volume total:
V=\pi\int_{a}^{b}\big(R(x)^{2}-r(x)^{2}\big)\,\mathrm{d}x.
Aqui a e b são os limites de integração (os pontos de interseção), R(x) é a função que dá o raio externo (distância do eixo até a curva superior) e r(x) é a função que dá o raio interno (distância do eixo até a curva inferior).
Exemplo rápido para fixar: se a região fosse entre y=1 e y=0 para 0\le x\le1, então R=1, r=0 e
V=\pi\int_{0}^{1}(1^{2}-0^{2})\,\mathrm{d}x=\pi\int_{0}^{1}1\,\mathrm{d}x=\pi,
que é o volume de um cilindro de raio 1 e altura 1, como esperamos.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nosso caso: usamos a=0, b=1, R(x)=x e r(x)=x^{3}. Assim
V=\pi\int_{0}^{1}\big(x^{2}-(x^{3})^{2}\big)\,\mathrm{d}x.
Simplificando a expressão dentro da integral:
(x^{3})^{2}=x^{6},
logo
V=\pi\int_{0}^{1}\big(x^{2}-x^{6}\big)\,\mathrm{d}x.

Passo 6

Calculamos a integral passo a passo. Usamos as regras básicas de integração: \displaystyle\int x^{n}\,\mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1.
Integramos termo a termo:
\int x^{2}\,\mathrm{d}x=\frac{x^{3}}{3},\qquad \int x^{6}\,\mathrm{d}x=\frac{x^{7}}{7}.
Portanto
\int_{0}^{1}\big(x^{2}-x^{6}\big)\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{7}}{7}\right]_{0}^{1}.
Avaliamo em 1 e em 0:
\left(\frac{1^{3}}{3}-\frac{1^{7}}{7}\right)-\left(\frac{0^{3}}{3}-\frac{0^{7}}{7}\right) =\frac{1}{3}-\frac{1}{7}.
Colocando em denominação comum:
\frac{1}{3}-\frac{1}{7}=\frac{7-3}{21}=\frac{4}{21}.
Multiplicando por \pi obtemos o volume:
V=\pi\cdot\frac{4}{21}=\frac{4\pi}{21}.

Passo 7

Cheque rápido de plausibilidade: \dfrac{4\pi}{21} é positivo e pequeno; numericamente \dfrac{4\pi}{21}\approx 0{,}5984, o que faz sentido para um sólido obtido ao girar uma região estreita entre x=0 e x=1. Tudo parece coerente.

Resposta

\displaystyle \frac{4\pi}{21}

Exercícios relacionados