Exercício 16. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo-
, da região limitada por:
a)
e
a)
Passo 1
O enunciado dá a região do plano delimitada por
e
para
, e pede o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo-
. Informações relevantes fornecidas:
- As curvas que limitam a região são
e . - A rotação é feita em torno do eixo-
. - A condição
restringe a parte da curva que interessa. - O objetivo final é calcular o volume do sólido de revolução obtido.
Passo 2
Primeiro precisamos descobrir o intervalo em
onde as duas curvas se cruzam (pontos de interseção), porque isso dá os limites de integração. Igualamos as duas curvas:
Reescrevendo:
As soluções são
,
e
. Como o enunciado exige
, os pontos de interseção relevantes são
Logo a região está entre
e
.
Passo 3
Agora devemos ver qual curva está acima da outra no intervalo
, para saber qual é o raio externo e qual é o raio interno ao rotacionar em torno do eixo-
. Calculamos a diferença:
Para
temos
e
, portanto
. Isso mostra que, em
,
Ao rotacionar em torno do eixo-
, o raio externo da lâmina circular (washers) é
e o raio interno é
.
Passo 4
Explico agora o método dos discos/aros (washers), que é o apropriado aqui. Pegamos uma pequena fatia vertical da região, com espessura
, fixa em um
. Ao girar essa fatia em torno do eixo-
ela gera um anel circular cuja área é a diferença entre a área do círculo de raio externo
e a do círculo de raio interno
:
Multiplicando essa área pela espessura
obtemos o volume aproximado da fatia. Somando (integrando) de
até
obtemos o volume total:
Aqui
e
são os limites de integração (os pontos de interseção),
é a função que dá o raio externo (distância do eixo até a curva superior) e
é a função que dá o raio interno (distância do eixo até a curva inferior).
Exemplo rápido para fixar: se a região fosse entre
e
para
, então
,
e
que é o volume de um cilindro de raio
e altura
, como esperamos.
Passo 5
Aplicando a fórmula ao nosso caso: usamos
,
,
e
. Assim
Simplificando a expressão dentro da integral:
logo
Passo 6
Calculamos a integral passo a passo. Usamos as regras básicas de integração:
para
.
Integramos termo a termo:
Portanto
Avaliamo em
e em
:
Colocando em denominação comum:
Multiplicando por
obtemos o volume:
Passo 7
Cheque rápido de plausibilidade:
é positivo e pequeno; numericamente
, o que faz sentido para um sólido obtido ao girar uma região estreita entre
e
. Tudo parece coerente.